TED日本語 - コンラッド・ウルフラム: コンピュータで子どもたちに教える本当の数学

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TED日本語 - コンラッド・ウルフラム: コンピュータで子どもたちに教える本当の数学

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コンピュータで子どもたちに教える本当の数学
Teaching kids real math with computers
コンラッド・ウルフラム
Conrad Wolfram

内容

ロケットから株式市場に至るまで、とてもスリリングな人類の作品の多くは数学が使われています。それなのに、子どもたちが数学への興味を失ってしまうのはなぜでしょう。コンラッド・ウルフラムは、教育で教えられている数学のうち、手作業での計算はただつまらないだけではなく、本当の数学や実世界からかけ離れている内容であるからだと言います。彼はコンピュータプログラミングを通して子どもたちに数学を教えるという先鋭的なアイデアを提案します。

Script

We've got a real problem with math education right now. Basically, no one's very happy. Those learning it think it's disconnected, uninteresting and hard. Those trying to employ them think they don't know enough. Governments realize that it's a big deal for our economies, but don't know how to fix it. And teachers are also frustrated. Yet math is more important to the world than at any point in human history. So at one end we've got falling interest in education in math, and at the other end we've got a more mathematical world, a more quantitative world than we ever have had.

So what's the problem, why has this chasm opened up, and what can we do to fix it? Well actually, I think the answer is staring us right in the face: Use computers. I believe that correctly using computers is the silver bullet for making math education work. So to explain that, let me first talk a bit about what math looks like in the real world and what it looks like in education. See, in the real world math isn't necessarily done by mathematicians. It's done by geologists, engineers, biologists, all sorts of different people -- modeling and simulation. It's actually very popular. But in education it looks very different -- dumbed-down problems, lots of calculating, mostly by hand. Lots of things that seem simple and not difficult like in the real world, except if you're learning it. And another thing about math: math sometimes looks like math -- like in this example here -- and sometimes it doesn't -- like "Am I drunk?" And then you get an answer that's quantitative in the modern world. You wouldn't have expected that a few years back. But now you can find out all about -- unfortunately, my weight is a little higher than that, but -- all about what happens.

So let's zoom out a bit and ask, why are we teaching people math? What's the point of teaching people math? And in particular, why are we teaching them math in general? Why is it such an important part of education as a sort of compulsory subject? Well, I think there are about three reasons: technical jobs so critical to the development of our economies, what I call "everyday living" -- to function in the world today, you've got to be pretty quantitative, much more so than a few years ago: figure out your mortgages, being skeptical of government statistics, those kinds of things -- and thirdly, what I would call something like logical mind training, logical thinking. Over the years we've put so much in society into being able to process and think logically. It's part of human society. It's very important to learn that math is a great way to do that.

So let's ask another question. What is math? What do we mean when we say we're doing math, or educating people to do math? Well, I think it's about four steps, roughly speaking, starting with posing the right question. What is it that we want to ask? What is it we're trying to find out here? And this is the thing most screwed up in the outside world, beyond virtually any other part of doing math. People ask the wrong question, and surprisingly enough, they get the wrong answer, for that reason, if not for others. So the next thing is take that problem and turn it from a real world problem into a math problem. That's stage two. Once you've done that, then there's the computation step. Turn it from that into some answer in a mathematical form. And of course, math is very powerful at doing that. And then finally, turn it back to the real world. Did it answer the question? And also verify it -- crucial step. Now here's the crazy thing right now. In math education, we're spending about perhaps 80 percent of the time teaching people to do step three by hand. Yet, that's the one step computers can do better than any human after years of practice. Instead, we ought to be using computers to do step three and using the students to spend much more effort on learning how to do steps one,two and four -- conceptualizing problems, applying them, getting the teacher to run them through how to do that.

See, crucial point here: math is not equal to calculating. Math is a much broader subject than calculating. Now it's understandable that this has all got intertwined over hundreds of years. There was only one way to do calculating and that was by hand. But in the last few decades that has totally changed. We've had the biggest transformation of any ancient subject that I could ever imagine with computers. Calculating was typically the limiting step, and now often it isn't. So I think in terms of the fact that math has been liberated from calculating. But that math liberation didn't get into education yet. See, I think of calculating, in a sense, as the machinery of math. It's the chore. It's the thing you'd like to avoid if you can, like to get a machine to do. It's a means to an end, not an end in itself, and automation allows us to have that machinery. Computers allow us to do that -- and this is not a small problem by any means. I estimated that, just today, across the world, we spent about 106 average world lifetimes teaching people how to calculate by hand. That's an amazing amount of human endeavor. So we better be damn sure -- and by the way, they didn't even have fun doing it, most of them -- so we better be damn sure that we know why we're doing that and it has a real purpose.

I think we should be assuming computers for doing the calculating and only doing hand calculations where it really makes sense to teach people that. And I think there are some cases. For example: mental arithmetic. I still do a lot of that, mainly for estimating. People say, "Is such and such true?" And I'll say, "Hmm, not sure." I'll think about it roughly. It's still quicker to do that and more practical. So I think practicality is one case where it's worth teaching people by hand. And then there are certain conceptual things that can also benefit from hand calculating, but I think they're relatively small in number. One thing I often ask about is ancient Greek and how this relates. See, the thing we're doing right now is we're forcing people to learn mathematics. It's a major subject. I'm not for one minute suggesting that, if people are interested in hand calculating or in following their own interests in any subject however bizarre -- they should do that. That's absolutely the right thing, for people to follow their self-interest. I was somewhat interested in ancient Greek, but I don't think that we should force the entire population to learn a subject like ancient Greek. I don't think it's warranted. So I have this distinction between what we're making people do and the subject that's sort of mainstream and the subject that, in a sense, people might follow with their own interest and perhaps even be spiked into doing that.

So what are the issues people bring up with this? Well one of them is, they say, you need to get the basics first. You shouldn't use the machine until you get the basics of the subject. So my usual question is, what do you mean by "basics?" Basics of what? Are the basics of driving a car learning how to service it, or design it for that matter? Are the basics of writing learning how to sharpen a quill? I don't think so. I think you need to separate the basics of what you're trying to do from how it gets done and the machinery of how it gets done and automation allows you to make that separation. A hundred years ago, it's certainly true that to drive a car you kind of needed to know a lot about the mechanics of the car and how the ignition timing worked and all sorts of things. But automation in cars allowed that to separate, so driving is now a quite separate subject, so to speak, from engineering of the car or learning how to service it. So automation allows this separation and also allows -- in the case of driving, and I believe also in the future case of maths -- a democratized way of doing that. It can be spread across a much larger number of people who can really work with that.

So there's another thing that comes up with basics. People confuse, in my view, the order of the invention of the tools with the order in which they should use them for teaching. So just because paper was invented before computers, it doesn't necessarily mean you get more to the basics of the subject by using paper instead of a computer to teach mathematics. My daughter gave me a rather nice anecdote on this. She enjoys making what she calls "paper laptops." (Laughter) So I asked her one day, "You know, when I was your age, I didn't make these. Why do you think that was?" And after a second or two, carefully reflecting, she said, "No paper?" (Laughter) If you were born after computers and paper, it doesn't really matter which order you're taught with them in, you just want to have the best tool.

So another one that comes up is "Computers dumb math down." That somehow, if you use a computer, it's all mindless button-pushing, but if you do it by hand, it's all intellectual. This one kind of annoys me, I must say. Do we really believe that the math that most people are doing in school practically today is more than applying procedures to problems they don't really understand, for reasons they don't get? I don't think so. And what's worse, what they're learning there isn't even practically useful anymore. Might have been 50 years ago, but it isn't anymore. When they're out of education, they do it on a computer. Just to be clear, I think computers can really help with this problem, actually make it more conceptual. Now, of course, like any great tool, they can be used completely mindlessly, like turning everything into a multimedia show, like the example I was shown of solving an equation by hand, where the computer was the teacher -- show the student how to manipulate and solve it by hand. This is just nuts. Why are we using computers to show a student how to solve a problem by hand that the computer should be doing anyway? All backwards.

Let me show you that you can also make problems harder to calculate. See, normally in school, you do things like solve quadratic equations. But you see, when you're using a computer, you can just substitute. You can make it a quartic equation. Make it kind of harder, calculating-wise. Same principles applied -- calculations, harder. And problems in the real world look nutty and horrible like this. They've got hair all over them. They're not just simple, dumbed-down things that we see in school math. And think of the outside world. Do we really believe that engineering and biology and all of these other things that have so benefited from computers and maths have somehow conceptually gotten reduced by using computers? I don't think so -- quite the opposite. So the problem we've really got in math education is not that computers might dumb it down, but that we have dumbed-down problems right now. Well, another issue people bring up is somehow that hand calculating procedures teach understanding. So if you go through lots of examples, you can get the answer, you can understand how the basics of the system work better. I think there is one thing that I think very valid here, which is that I think understanding procedures and processes is important. But there's a fantastic way to do that in the modern world. It's called programming.

Programming is how most procedures and processes get written down these days, and it's also a great way to engage students much more and to check they really understand. If you really want to check you understand math then write a program to do it. So programming is the way I think we should be doing that. So to be clear, what I really am suggesting here is we have a unique opportunity to make maths both more practical and more conceptual, simultaneously. I can't think of any other subject where that's recently been possible. It's usually some kind of choice between the vocational and the intellectual. But I think we can do both at the same time here. And we open up so many more possibilities. You can do so many more problems. What I really think we gain from this is students getting intuition and experience in far greater quantities than they've ever got before. And experience of harder problems -- being able to play with the math, interact with it, feel it. We want people who can feel the math instinctively. That's what computers allow us to do.

Another thing it allows us to do is reorder the curriculum. Traditionally it's been by how difficult it is to calculate, but now we can reorder it by how difficult it is to understand the concepts, however hard the calculating. So calculus has traditionally been taught very late. Why is this? Well, it's damn hard doing the calculations, that's the problem. But actually many of the concepts are amenable to a much younger age group. This was an example I built for my daughter. And very, very simple. We were talking about what happens when you increase the number of sides of a polygon to a very large number. And of course, it turns into a circle. And by the way, she was also very insistent on being able to change the color, an important feature for this demonstration. You can see that this is a very early step into limits and differential calculus and what happens when you take things to an extreme -- and very small sides and a very large number of sides. Very simple example. That's a view of the world that we don't usually give people for many, many years after this. And yet, that's a really important practical view of the world. So one of the roadblocks we have in moving this agenda forward is exams. In the end, if we test everyone by hand in exams, it's kind of hard to get the curricula changed to a point where they can use computers during the semesters.

And one of the reasons it's so important -- so it's very important to get computers in exams. And then we can ask questions, real questions, questions like, what's the best life insurance policy to get? -- real questions that people have in their everyday lives. And you see, this isn't some dumbed-down model here. This is an actual model where we can be asked to optimize what happens. How many years of protection do I need? What does that do to the payments and to the interest rates and so forth? Now I'm not for one minute suggesting it's the only kind of question that should be asked in exams, but I think it's a very important type that right now just gets completely ignored and is critical for people's real understanding.

So I believe [ there is ] critical reform we have to do in computer-based math. We have got to make sure that we can move our economies forward, and also our societies, based on the idea that people can really feel mathematics. This isn't some optional extra. And the country that does this first will, in my view, leapfrog others in achieving a new economy even, an improved economy, an improved outlook. In fact, I even talk about us moving from what we often call now the "knowledge economy" to what we might call a "computational knowledge economy," where high-level math is integral to what everyone does in the way that knowledge currently is. We can engage so many more students with this, and they can have a better time doing it. And let's understand: this is not an incremental sort of change. We're trying to cross the chasm here between school math and the real-world math. And you know if you walk across a chasm, you end up making it worse than if you didn't start at all -- bigger disaster. No, what I'm suggesting is that we should leap off, we should increase our velocity so it's high, and we should leap off one side and go the other -- of course, having calculated our differential equation very carefully.

(Laughter)

So I want to see a completely renewed, changed math curriculum built from the ground up, based on computers being there, computers that are now ubiquitous almost. Calculating machines are everywhere and will be completely everywhere in a small number of years. Now I'm not even sure if we should brand the subject as math, but what I am sure is it's the mainstream subject of the future. Let's go for it, and while we're about it, let's have a bit of fun, for us, for the students and for TED here.

Thanks.

(Applause)

現在の数学教育には大きな問題があります まず 満足している人がいません 学習者は数学との関わりや 面白さを見つけられず 難しさを感じています 雇用の場では 即戦力になる人材がいないと言います 経済に対する数学の影響力に気づいていながら 政府は対処法を見つけられません 教師もストレスを感じています しかしながら 数学は今までにないほど 大事なときを迎えています 教育現場では 数学への関心が下がる一方で 世界は未だかつてないほど 数学的で定量的になりつつあります

この隔たりをつくり出す問題と その解決策は何でしょうか 解決策は明らかに コンピュータを使うことだと 私は思います 数学教育を成功させるには コンピュータを正しく使う事が 解決策であるのは 間違いないでしょう まず 実社会や教育の場で 数学はどのようなものなのか 説明しましょう 実社会で数学は 必ずしも数学者がやるものではありません 地質学者であったり エンジニアや生物学者― いろいろな人たちによって モデリングやシミュレーションと 様々な用途に使われています でも教育現場では違います 簡略化された問題や 計算を手作業で行います 数学を勉強中なら別ですが シンプルに見えるものが多く 実社会のように難しくありません もう一つ言えるのは 数学は この例のように 数学のように見えることもありますが 見えないこともあります 例えば “酔ってる?” という質問は 現代の世界では定量的な答えが出てきます 数年前まで予想もしなかったことですが 全てのことを見つけ出せます 私の体重が少し軽めに表示されていますが 何事も見つけ出せます

では少しズームアウトして なぜ数学を教えているのか考えましょう 数学の教育にはどのような意味があるでしょうか とりわけ 数学を教えているのはなぜでしょうか 必修科目として数学を教育に組み込むのは なぜ重要なのでしょうか それには3つの理由があると思います まずは 経済を発展させるため 技術職に数学は必要です そして 毎日の生活です 今の世界で役に立つには 数年前よりもずっと 定量的でなくてはいけません 住宅ローンを計算したり 政府の統計に懐疑的になったりするからです 3つめは私が論理的な心の訓練と呼んでいるもので 論理的な考え方をすることです ここ何年も 私たちは論理的に考えるよう 多大な努力をしてきました 数学はそれを学べる― 素晴らしい方法です

では別の質問ですが 数学とは何でしょうか 数学を教えるというのは どのような意味があるのでしょうか 私は4段階に関することだと思います まずは正しい質問― 見つけ出そうとしているのは何なのか ということですが これが数学を使う上で 最も機能していない部分です 的はずれなことを尋ねるから 人々は間違った答えを 導きだしてしまいます 次はその問題をとらえ 本物の世界の問題から 数学の問題にかえることです これが第二段階です それが終わったら計算の段階です 答えは数学的な形に 変えるのですが 数学は非常に それに優れています 最後に実世界に戻し 問題に答えたかどうか確認します また重要なのが実証してみることです 現在 ひどいことが起きています 数学教育では 第三段階を手作業でやるように 約8割の時間を費やして教えていますが どんなに人間が頑張っても コンピュータには敵いません ですから第三段階にはコンピュータを 使用するべきで 学生は第一と第二と第四段階に もっと努力を費やすべきです 問題の概念化や応用をして 教師は その仕方を全面的に指導するのです

数学と計算は 同じなのではありません 数学は もっと幅の広い分野です 何百年という間に 数学と計算が絡み合ったのは 理解できます 計算は唯一手で行うものでしたが 過去数十年の間に がらりと変わりました コンピュータによって古代から伝わってきた分野が 大きな変貌を遂げました 計算は限定的な段階でしたが 今はそうでないことも多いのです 数学が計算ではなくなったのに その事実は まだ教育には 浸透していません 計算は数学の可動部分だと 私は考えています 雑仕事なのです できれば機械にやらせて自分では避けたいものです 手段であって目的ではありません オートメーションは その可動部分を可能にしてくれます コンピュータがそうしてくれるのです これは小さな問題ではありません 私の推測では 現在世界の至る所で 約106人分の生涯に相当する時間をかけて 手で行う計算の仕方を教えています 多大な量の努力をしているのです 楽しんでやっている人が 非常に少ないのですから それをやる理由と 目的をきちんと 把握しておくべきです

計算はコンピュータの仕事だと 思った方がいいと思います 合理性のあるときだけ自分で計算をするように教えるべきです いくつか例をあげてみましょう 例えば暗算です 目算するとき 私は今でも暗算をします 誰かが何かを言ったとき 本当かどうか ざっと計算してみるのです 時間がかからず実用的なので 実用性の面で見れば 教える価値はあると思います 手で計算することで ためにもなる ある概念的なものがありますが 数は比較的少ないと思います 私がよく尋ねるのは 古代ギリシャ語と その関連性です 現在私たちは 数学を 強制的に学ばせています 主要な科目です 手で行う計算に興味があったり どんなに変わっている科目でも 自らの興味を追求しているなら それはやるべきです 自らの興味の追求は まったく正しい行いです 私は古代ギリシャ語に興味がありましたが 国民全体に古代ギリシャ語のような教科を 強制するべきだとは思いません その必要性はありません 私は二種類のものがあると思います 主流とも言える科目である数学 そして 人々が興味を持ち 追究しようとする数学です

この問題に持ち出される意見の一つに 基礎をまず学ぶ必要があると言う人がいます 基礎を身につけるまで 機械は使うべきではないと言うのです でも基礎とは何でしょうか 何の基礎でしょう? 車の運転の基礎は 点検の仕方?それともデザインの仕方? 執筆の基礎は羽ペンの削り方? 違うと思います 自分がやろうとする事の基礎は そのからくりから 切り離す必要があると思います 自動化がその切り離しを可能にしてくれます 100年前であれば 車を運転するなら 車の仕組みや エンジンの点火時期を知る必要もありました でも車が自動化されたことで 車の運転は 車のエンジニアリングや 点検の仕方を学ぶことから 切り離すことができるようになりました 自動化によって可能になったのです また 運転に関しては 数学の将来にも言えると思いますが 庶民的にしてくれます もっと大勢の人たちが 使えるようになります

基礎に関して もう一つの話題があがります ツールが発明された順番に 学習の順番も決められているような気が 私にはするのです コンピュータよりも先に紙が発明されたからといって 数学の授業でコンピュータの代わりに 紙を使わなければいけないと いうわけではありません 私の娘が面白いことを言いました 娘は紙でパソコンを作って楽しんでいるのですが (会場:笑い声) 私が子どものときには 作らなかったけど それはなぜかと 娘に尋ねてみたら 少し考えて こう言いました “紙がなかったの?” (会場:笑い声) 両方存在する時代に生まれたら どちらで教わるかなんて関係ありません 最高のツールがあればいいのです

コンピュータが数学のレベルを下げると言う人もいます コンピュータは ボタンを押すだけですが 手で計算をすれば 頭を使うと言うのです この考え方は しゃくにさわります 現在 学校で学生たちは 理解していない問題を解かされ その必要性も理解していません でも これが本来の 状況ではないとでも思いますか? 私はそう思いません おまけに 学生が学んでいる内容は役立つ内容でさえないのです 50年前なら実用的だったかもしれませんが 社会に出たら コンピュータを使う事になります コンピュータはこの問題の手助けになって 概念的になると思います 素晴らしいツールのように 考えもせず利用できます 例えば全てをマルチメディアショーにするような感じです コンピュータで学びながら 方程式を手計算で解く学生を 見たことがあります 自分で計算する方法でしたが そんなのおかしいです もともとコンピュータがやるべき問題を コンピュータが学生に教えるなんて 本末転倒です

あるものを見せましょう 計算をさらに難しくできるんです 通常 学校では 二次方程式を勉強しますが コンピュータを使うと ただ代入すればいいだけです 四次方程式にして 同じ原理を応用すると 計算は難しくなります 実社会では このように 圧倒されそうな 難しい問題だらけです 授業で見るような簡単なものではありません 外の世界を考えてください 工学や生物学など コンピュータと数学から 大きな利益を得たものが コンピュータの使用によってレベルが落ちたと思いますか? 私はまったくその反対だと思います 数学教育でレベルが落ちているというのは コンピュータが引き起こしているのではなく 私たち自身が引き起こしているのです 別の意見もあります 手で計算する手順が 理解を深められるというものです たくさんの例題をこなすことで 答えを見つけられるようになり システムの基礎をより深く理解できるというものです これは妥当な意見だと思います 手順や過程の理解は大切ですが それを理解するのに 今は素晴らしい方法があります プログラミングと呼ばれています

プログラミングはほとんどの手順と過程が いかに記されているかというもので 学生を引き込んだり 彼らの理解度をチェックするには 優れた方法でもあります 数学を理解しているか確認したければ 自らプログラミングをしてみることです よって プログラミングこそ それに適した方法だと思います つまり 私がここで言いたいのは 数学を より実用的にして より概念的にする機会を 私たちは持っているということです 同じような境遇にある科目は他にないでしょう 通常 職業的なものと 知的なものの間にある選択肢ですが ここでは両方が同時にできて 更なる可能性が広がり より多くの問題を解けます そこから学生は 未だかつてない量の 直観力と経験を得られるのです 難しめの問題の経験には 数学と相互に影響しあい 感じ取ることができるのです 皆に数学を直感的に感じてほしいのです コンピュータはそれを可能にします

他に可能なのはカリキュラムを整理しなおせることです 今までは計算をする難しさに沿っていましたが どんなに計算が難しくても 概念を理解する難しさに 整理しなおすことができます 昔から微積分法を遅い時期に教えるのは なぜでしょうか 計算が非常に難しいことが問題ですが 概念の多くを幼い子どもに合わせて 修正することはできます これは私が娘に作った例で 非常にシンプルです 多角形の辺の数を 増やした場合 どうなるのか 話していました 辺が増えると円になります 余談ですが 娘は 色の変更も大事だと 頑固に言い張っていました ご覧のとおり これは 極限や微分法の初期段階で 辺の数を多くした場合はどうなるかを みることができます 非常にシンプルな例です ある程度の年齢になるまで 学ぶことがない世界観ですが これは非常に大切で実用的な世界観なのです この課題を検討するにあたって 障害となるものの一つは 試験です 試験において 手で計算することが強いられると 授業でコンピュータを使うように カリキュラムを変更するのは 難しくなります

試験にコンピュータを導入する 重要な理由の一つです そうすれば重要な質問もできるのです 例えば最適な保険契約はどれかといった 生活に関わる質問ができます これはレベルを下げたものではなく 最適な選択を見つける問いなのです 必要な保険の保障期間や 支払額や利率などを 調べることができます このような問題だけを試験で扱うべきだと 言っているわけではありません でも なおざりにされている 内容のものが 皆が理解すべき重要なものだと思うのです

ですからコンピュータが基礎となる数学の 重大な変革をしなくてはいけません 経済や社会の前進を 確かなものにしなければならず そこでは 数学を誰もが感じられることに 基づいていることが必須です これを実践する最初の国が 私の意見では大きな飛躍をして 新しい経済を創造し 経済や先行きが より良いものになると考えます さらに 知識経済と呼ばれるものから 計算知識経済と呼べるものへと 移りかわることを提唱しています 現況の知識と同様に 誰もがやることに 高度な数学が必須となります より多くの学生を引き込むことで 彼らも楽しく数学を学んでくれるでしょう 理解してほしいのは これは増加的な変化ではありません 授業の数学と実世界の数学の 隔たりをなくそうとしています 割れ目を歩いて渡るのは 行動を起こさない以上に 大失敗を招きます 私が言っているのは 飛躍すべきだということです 速度を上げ 高さを出して 向かい側へと飛ぶのです 微分方程式をきちんと計算してのことですが

(会場:笑い声)

私が望むのは 徹底的にカリキュラムを 基礎から新しくすることです コンピュータが普及した状態に 基づいて行うのです 計算機はどこにでもあり 近いうちに至る所に普及するでしょう この科目を数学としていいのかどうか分かりませんが 確信をもって言えるのは 今後 重要な科目であることです さあ 始めましょう 行動を起こしながら 楽しみましょう 我々のため 学生のため TEDのために

ありがとう

(拍手)

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品詞分類

  • 主語
  • 動詞
  • 助動詞
  • 準動詞
  • 関係詞等

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