TED日本語 - ロバート・ラング: 全く新しい時代の折り紙を折る


TED Talks(英語 日本語字幕付き動画)

TED日本語 - ロバート・ラング: 全く新しい時代の折り紙を折る

TED Talks

The math and magic of origami
Robert Lang


ロバート・ラングは、新しい折り紙の開拓者で ― 数学と工学の原理を利用し、衝撃的に手の込んだデザインの、美しく、時にはとても有用な折り紙を作ります


My talk is "Flapping Birds and Space Telescopes." And you would think that should have nothing to do with one another, but I hope by the end of these 18 minutes, you'll see a little bit of a relation. It ties to origami. So let me start. What is origami? Most people think they know what origami is. It's this: flapping birds, toys, cootie catchers, that sort of thing. And that is what origami used to be. But it's become something else. It's become an art form, a form of sculpture.

The common theme -- what makes it origami -- is folding is how we create the form. You know, it's very old. This is a plate from 1797. It shows these women playing with these toys. If you look close, it's this shape, called a crane. Every Japanese kid learns how to fold that crane. So this art has been around for hundreds of years, and you would think something that's been around that long -- so restrictive, folding only -- everything that could be done has been done a long time ago. And that might have been the case.

But in the twentieth century, a Japanese folder named Yoshizawa came along, and he created tens of thousands of new designs. But even more importantly, he created a language, a way we could communicate, a code of dots, dashes and arrows. Harkening back to Susan Blackmore's talk, we now have a means of transmitting information with heredity and selection, and we know where that leads. And where it has led in origami is to things like this. This is an origami figure -- one sheet, no cuts, folding only, hundreds of folds. This, too, is origami, and this shows where we've gone in the modern world. Naturalism. Detail. You can get horns, antlers -- even, if you look close, cloven hooves.

And it raises a question: what changed? And what changed is something you might not have expected in an art, which is math. That is, people applied mathematical principles to the art, to discover the underlying laws. And that leads to a very powerful tool. The secret to productivity in so many fields -- and in origami -- is letting dead people do your work for you.


Because what you can do is take your problem, and turn it into a problem that someone else has solved, and use their solutions. And I want to tell you how we did that in origami. Origami revolves around crease patterns. The crease pattern shown here is the underlying blueprint for an origami figure. And you can't just draw them arbitrarily. They have to obey four simple laws. And they're very simple, easy to understand. The first law is two-colorability. You can color any crease pattern with just two colors without ever having the same color meeting. The directions of the folds at any vertex -- the number of mountain folds, the number of valley folds -- always differs by two. Two more or two less. Nothing else. If you look at the angles around the fold, you find that if you number the angles in a circle, all the even-numbered angles add up to a straight line, all the odd-numbered angles add up to a straight line. And if you look at how the layers stack, you'll find that no matter how you stack folds and sheets, a sheet can never penetrate a fold. So that's four simple laws. That's all you need in origami. All of origami comes from that.

And you'd think, "Can four simple laws give rise to that kind of complexity?" But indeed, the laws of quantum mechanics can be written down on a napkin, and yet they govern all of chemistry, all of life, all of history. If we obey these laws, we can do amazing things. So in origami, to obey these laws, we can take simple patterns -- like this repeating pattern of folds, called textures -- and by itself it's nothing. But if we follow the laws of origami, we can put these patterns into another fold that itself might be something very, very simple, but when we put it together, we get something a little different. This fish,400 scales -- again, it is one uncut square, only folding. And if you don't want to fold 400 scales, you can back off and just do a few things, and add plates to the back of a turtle, or toes. Or you can ramp up and go up to 50 stars on a flag, with 13 stripes. And if you want to go really crazy,1,000 scales on a rattlesnake. And this guy's on display downstairs, so take a look if you get a chance.

The most powerful tools in origami have related to how we get parts of creatures. And I can put it in this simple equation. We take an idea, combine it with a square, and you get an origami figure.


What matters is what we mean by those symbols. And you might say, "Can you really be that specific? I mean, a stag beetle -- it's got two points for jaws, it's got antennae. Can you be that specific in the detail?" And yeah, you really can. So how do we do that? Well, we break it down into a few smaller steps. So let me stretch out that equation. I start with my idea. I abstract it. What's the most abstract form? It's a stick figure. And from that stick figure, I somehow have to get to a folded shape that has a part for every bit of the subject, a flap for every leg. And then once I have that folded shape that we call the base, you can make the legs narrower, you can bend them, you can turn it into the finished shape.

Now the first step, pretty easy. Take an idea, draw a stick figure. The last step is not so hard, but that middle step -- going from the abstract description to the folded shape -- that's hard. But that's the place where the mathematical ideas can get us over the hump. And I'm going to show you all how to do that so you can go out of here and fold something. But we're going to start small. This base has a lot of flaps in it. We're going to learn how to make one flap. How would you make a single flap? Take a square. Fold it in half, fold it in half, fold it again, until it gets long and narrow, and then we'll say at the end of that, that's a flap. I could use that for a leg, an arm, anything like that.

What paper went into that flap? Well, if I unfold it and go back to the crease pattern, you can see that the upper left corner of that shape is the paper that went into the flap. So that's the flap, and all the rest of the paper's left over. I can use it for something else. Well, there are other ways of making a flap. There are other dimensions for flaps. If I make the flaps skinnier, I can use a bit less paper. If I make the flap as skinny as possible, I get to the limit of the minimum amount of paper needed. And you can see there, it needs a quarter-circle of paper to make a flap. There's other ways of making flaps. If I put the flap on the edge, it uses a half circle of paper. And if I make the flap from the middle, it uses a full circle. So, no matter how I make a flap, it needs some part of a circular region of paper. So now we're ready to scale up. What if I want to make something that has a lot of flaps? What do I need? I need a lot of circles.

And in the 1990s, origami artists discovered these principles and realized we could make arbitrarily complicated figures just by packing circles. And here's where the dead people start to help us out, because lots of people have studied the problem of packing circles. I can rely on that vast history of mathematicians and artists looking at disc packings and arrangements. And I can use those patterns now to create origami shapes. So we figured out these rules whereby you pack circles, you decorate the patterns of circles with lines according to more rules. That gives you the folds. Those folds fold into a base. You shape the base. You get a folded shape -- in this case, a cockroach. And it's so simple.


It's so simple that a computer could do it. And you say, "Well, you know, how simple is that?" But computers -- you need to be able to describe things in very basic terms, and with this, we could. So I wrote a computer program a bunch of years ago called TreeMaker, and you can download it from my website. It's free. It runs on all the major platforms -- even Windows.


And you just draw a stick figure, and it calculates the crease pattern. It does the circle packing, calculates the crease pattern, and if you use that stick figure that I just showed -- which you can kind of tell, it's a deer, it's got antlers -- you'll get this crease pattern. And if you take this crease pattern, you fold on the dotted lines, you'll get a base that you can then shape into a deer, with exactly the crease pattern that you wanted. And if you want a different deer, not a white-tailed deer, but you want a mule deer, or an elk, you change the packing, and you can do an elk. Or you could do a moose. Or, really, any other kind of deer. These techniques revolutionized this art. We found we could do insects, spiders, which are close, things with legs, things with legs and wings, things with legs and antennae. And if folding a single praying mantis from a single uncut square wasn't interesting enough, then you could do two praying mantises from a single uncut square. She's eating him. I call it "Snack Time."

And you can do more than just insects. This -- you can put details, toes and claws. A grizzly bear has claws. This tree frog has toes. Actually, lots of people in origami now put toes into their models. Toes have become an origami meme, because everyone's doing it. You can make multiple subjects. So these are a couple of instrumentalists. The guitar player from a single square, the bass player from a single square. And if you say, "Well, but the guitar, bass -- that's not so hot. Do a little more complicated instrument." Well, then you could do an organ.


And what this has allowed is the creation of origami-on-demand. So now people can say, "I want exactly this and this and this," and you can go out and fold it. And sometimes you create high art, and sometimes you pay the bills by doing some commercial work. But I want to show you some examples. Everything you'll see here, except the car, is origami.



Just to show you, this really was folded paper. Computers made things move, but these were all real, folded objects that we made. And we can use this not just for visuals, but it turns out to be useful even in the real world. Surprisingly, origami and the structures that we've developed in origami turn out to have applications in medicine, in science, in space, in the body, consumer electronics and more.

And I want to show you some of these examples. One of the earliest was this pattern, this folded pattern, studied by Koryo Miura, a Japanese engineer. He studied a folding pattern, and realized this could fold down into an extremely compact package that had a very simple opening and closing structure. And he used it to design this solar array. It's an artist's rendition, but it flew in a Japanese telescope in 1995. Now, there is actually a little origami in the James Webb Space Telescope, but it's very simple. The telescope, going up in space, it unfolds in two places. It folds in thirds. It's a very simple pattern -- you wouldn't even call that origami. They certainly didn't need to talk to origami artists.

But if you want to go higher and go larger than this, then you might need some origami. Engineers at Lawrence Livermore National Lab had an idea for a telescope much larger. They called it the Eyeglass. The design called for geosynchronous orbit 25,000 miles up, 100-meter diameter lens. So, imagine a lens the size of a football field. There were two groups of people who were interested in this: planetary scientists, who want to look up, and then other people, who wanted to look down. Whether you look up or look down, how do you get it up in space? You've got to get it up there in a rocket. And rockets are small. So you have to make it smaller. How do you make a large sheet of glass smaller? Well, about the only way is to fold it up somehow. So you have to do something like this. This was a small model.

Folded lens, you divide up the panels, you add flexures. But this pattern's not going to work to get something 100 meters down to a few meters. So the Livermore engineers, wanting to make use of the work of dead people, or perhaps live origamists, said, "Let's see if someone else is doing this sort of thing." So they looked into the origami community, we got in touch with them, and I started working with them. And we developed a pattern together that scales to arbitrarily large size, but that allows any flat ring or disc to fold down into a very neat, compact cylinder. And they adopted that for their first generation, which was not 100 meters -- it was a five-meter. But this is a five-meter telescope -- has about a quarter-mile focal length. And it works perfectly on its test range, and it indeed folds up into a neat little bundle.

Now, there is other origami in space. Japan Aerospace [ Exploration ] Agency flew a solar sail, and you can see here that the sail expands out, and you can still see the fold lines. The problem that's being solved here is something that needs to be big and sheet-like at its destination, but needs to be small for the journey. And that works whether you're going into space, or whether you're just going into a body. And this example is the latter. This is a heart stent developed by Zhong You at Oxford University. It holds open a blocked artery when it gets to its destination, but it needs to be much smaller for the trip there, through your blood vessels. And this stent folds down using an origami pattern, based on a model called the water bomb base.

Airbag designers also have the problem of getting flat sheets into a small space. And they want to do their design by simulation. So they need to figure out how, in a computer, to flatten an airbag. And the algorithms that we developed to do insects turned out to be the solution for airbags to do their simulation. And so they can do a simulation like this. Those are the origami creases forming, and now you can see the airbag inflate and find out, does it work? And that leads to a really interesting idea.

You know, where did these things come from? Well, the heart stent came from that little blow-up box that you might have learned in elementary school. It's the same pattern, called the water bomb base. The airbag-flattening algorithm came from all the developments of circle packing and the mathematical theory that was really developed just to create insects -- things with legs. The thing is, that this often happens in math and science. When you get math involved, problems that you solve for aesthetic value only, or to create something beautiful, turn around and turn out to have an application in the real world. And as weird and surprising as it may sound, origami may someday even save a life. Thanks.


私の話は「折鶴と宇宙望遠鏡」です どちらも関係ないもののように思われるかもしれませんが この18分がすぎたら その関係がすこし見えるかもしれません 折り紙に関係しています 始めましょう 折り紙とはなにか? 折り紙を知っている人は 大抵これだと思うでしょう 折鶴や おもちゃ パクパクといったものです 昔はそういうものでした しかし 現在は別にものになってきています アートの形式 彫刻の形式になったのです

折り紙が折り紙であるための共通のテーマは 折るということです 折って形を作ります その歴史はとても古いものです この錦絵は1797年のもので 女性がこういったおもちゃで遊んでいます よくみると この形 折鶴です 日本の子どもはみんな 折鶴の折り方を教わります このアートは何百年も続いているのです ここであなたはこう思うかも知れません 「折るだけ」というきつい制限の元でこれだけ長い歴史があるならば 既にできる事は全部やられているだろうと もっともなことです

しかし 20世紀に入って 吉沢氏という折り紙制作者が現れ 何万もの新しいデザインを生み出しました さらに重要のなのは 彼が 点や線 矢印を使って 折り紙の情報を交換できる「言語」を作ったことです スーザン・ブラックモアのトークの言葉を替えていうと 我々は 遺伝と選択による情報伝達の 手段を得たのです その先がどこに行くのか 折り紙の世界では ここにたどり着きました これは折り紙で 一枚の紙で 切り込みなし 何百回も折っただけです これも折り紙です これが現代折り紙の到達点を示しています 自然主義や細部へのこだわりです 角や枝角 割れた爪などです

そして疑問がわく:なにが変わったのか? 変わったのは アートの世界では思いもしなかったこと ― 数学です 数学の原理を 芸術に当てはめ 背景にある法則を発見したのです そしてより強力なツールが生まれました 様々な分野で 生産性の秘密は ― 折り紙の世界でも ― 死人に仕事をさせることです


あなたにできるのは あなたの問題を 過去に誰かが解いた問題に変換し その答えを流用することです 折り紙の世界でそれをどうやったかをお話します 折り紙では折り目のパターンが重要になります 折り目パターンは 折り紙の形の 元になる青写真です 自分勝手に描くことはできません 単純な4つの法則があるのです とても簡単で わかりやすいものです 第1の法則は「二色着彩性」です どんなパターンも 同じ色が隣接せずに 二色に塗り分けることができます どの頂点でも 折り目の方向 山折りの数と谷折りの数は 必ず差が2になります 2だけ多いか少ないかです それ以外はありません 折り目の角についてみると 円の周りの角に番号をつけた場合 全ての偶数番の角の合計は直線(180度)で 全ての奇数番の角の合計も直線(180度)になります そして折り目の重なりを見ると どれだけ折り重ねても どの層も他の層を 突き抜けることはありません 簡単な4つの法則です 折り紙にはこれしかありません 折り紙は全てこれに基づいています

「4つの単純な法則だけであんなに複雑な ものが出来るの?」と思うかもしれません でも本当にそうなのです 量子力学の 法則もナプキンに書くことができます でもそれが全ての化学 全ての生命 全ての歴史を支配するのです この法則に従うと 面白いことができます それで 折り紙でこの法則に従い シンプルなパターンを例にすると ― このような「テクスチャー」と呼ばれる折り線が繰り返しているもの ― それ自体はなんでもありません しかし 折り紙の法則に従って 別の折り方をすることができて それ自体は非常にシンプルですが 組み合わせると ちょっと違ってきます この魚は鱗が400枚ありますが これも 切れ目のない四角な紙を折ってあるだけです 鱗400枚を折りたくないのなら ちょっと戻って少しだけの作業で 亀の背中に甲羅をつけたり 指をつけたりできますし あるいは作業を増やして旗の上に 50個の星と13本の帯をつけたりできます めちゃくちゃクレイジーなことをしたければ 鱗1000枚のガラガラヘビもできます これは下の階にディスプレイされているので 皆さんも見られるかもしれません

折り紙の最強のツールは 我々が部品を どうやって作るかに関係しています それはこの簡単な式に表されます アイデアが浮かぶと それを四角い紙に結びつけ 折り紙の形が出来ます


重要なのはこれらのシンボルが何を意味しているかです 「そこまで細かくできるの? クワガタならあごが二つ 触角もあるし そこまで細かくできるのか?」と思うかもしれません そう 実際に出来るのです どうやってやるのでしょう? これを 細かいステップに分けてみましょう 数式を展開します まずアイデアがあります それを抽象化します 一番抽象的な形は? 棒で出来た形(棒形)です この棒形から 私は部品を全部備えた 折られた形をなんとか得なければなりません それぞれの足にひとつの「フラップ」です 「ベース」とよばれるこの折られた形が得られたなら 足を細くして 折り曲げて 完成形にすることができます

第1のステップ:これは簡単です アイデアを思いつき 棒形にする 最後のステップもそんなに難しくありません しかし中間部 抽象的な形から折られたベースにする これは難しいです しかし ここで数学が登場し 我々は壁を乗り越えて行くのです そこでこの状態から何かの形を作るのに どうするかをご覧に入れます でも まずは小さく始めましょう この「ベース」にはフラップがたくさんあります フラップを一つ作る方法を学びます どうやってフラップを一つ作るか? 四角い紙をとり 半分に折ってまた半分 さらに半分に折り 細く 幅が狭くなるまで繰り返します 最後には「これがフラップだ」というところまできます フラップは脚や 腕や そういうものになります

紙のどの部分がフラップになったか? 折ったものを開いて折り目パターンに戻ると 左上の角が フラップになっていたことがわかります そこがフラップで 紙の他の部分は残っていて 別のことに使えます フラップを作る方法は他にもあります フラップには他の特徴もあるのです フラップが細くなれば 使う紙が少なくて済みます フラップを出来るだけ細く作れば 使う紙の量が最低限で済みます ご覧の用に フラップを作るには円の4分の1が必要です フラップを作る方法は他にもあります 辺の部分にフラップを作るには 円の2分の1が必要です そしてフラップを紙の内部に作るには 円全体が必要になります つまり どうやってフラップを作っても 我々は紙の中の 円の一部が必要になるのです さて スケールアップする準備ができました たくさんのフラップが必要な時はどうなるでしょう? 円がたくさん必要になります

1990年代に 折り紙アーティストたちはこの原理を発見し 任意の複雑な形を作るのには 単に円を詰め込めばいいとわかりました ここで死人たちが助けてくれることになります たくさんの人たちが 円を詰め込み方を 既に研究しているからです 私は円の詰め込み方と配置に関して たくさんの 過去の数学者とアーティストを頼ることができます それらのパターンを使って折り紙の形を作るわけです それで 我々は円を詰め込むルールを知り それに加えて 他のルールをもとに 線を引いて 折り目を作ることができます 折り目が「ベース」になり ベースをさらに変形し 折り紙の形ーこの場合はゴキブリができあがります とても簡単ですよね


とても簡単なのでコンピュータでもやることができます 「どらくらい簡単?」ですって? コンピュータでは 非常に基本的な言語で 事象を記述することが必要で それにより折り目パターンの計算ができます そこで何年も前にわたしはTreeMakerというプログラムを書き それは私のウェブサイトからダウンロードできます 無料です メジャーなOSで ― なんとWindowsでも ― 動きます


あなたは棒形を描くだけです プログラムが折り目のパターンを計算し 円を詰め込み 折り目のパターンを計算します それでこの棒形を使えば お分かりかも知れませんが ― これは鹿で 枝角ですが ― この折り目が得られ その折り目を元に点線を折っていくと 「ベース」ができて さらに変形すると 鹿になります それも希望した形を作る最適な折り目パターンで もしもオジロジカでなく 別の鹿が欲しい場合 円の詰め込み方を変えることで ヘラジカになります ムースにも どんな種類の鹿にでも この技術が折り紙芸術に革命をもたらしました 昆虫ができますし 蜘蛛も ― これは近いですが 脚があるもの 脚と羽があるもの 脚と触角があるもの もしも一枚の紙から一匹のカマキリでは 面白くないなら 一枚の紙から 二匹のカマキリもできます メスがオスを食べています 「スナックタイム」です

昆虫以外のものも出来ます これは ― ディテールを加えられます 指と爪 グリズリーには爪があります アマガエルには指をつけられます 多くの折り紙制作者は指をつけるようになりました 皆がそうするので 指は折り紙のミームになっています 複数のものを作ることができ ここには二人の楽器演奏者 一枚の紙からギタリスト 同じくベーシスト それで「ふむ ギターとベース ― 大したことないな もう少し複雑な楽器を」 それならオルガンが作れます


これで創作の世界で可能になったのが 「折り紙オンデマンド」です 今では「これとこれが欲しいんだ」と言えば 折ってみれば良いのです 時には高級なアートが作れますし コマーシャル作品を作って稼ぐこともできます 例をご覧に入れましょう ここで見るものは 車以外は すべて折り紙です



これらは本当に折った紙です コンピュータで動かしていますが 全て我々が作った実物の折り紙の形です この方法は視覚的な分野だけでなく 実世界でも役立つものだとわかりました 驚くべきことに 折り紙と 折り紙で作り出した構造は 医療 科学 宇宙 身体 電化製品などの 分野で応用できることがわかりました

いくつかの例をご覧に入れます 初期のものの一つがこのパターンです このパターンは 日本の技術者 三浦公亮氏の研究成果です 彼は折り紙パターンを研究し それが 開閉が非常に簡単な 非常に小さいパッケージにできると発見しました 彼はこれを太陽電池の設計に応用しました これは芸術表現ですが 1995年に日本の望遠鏡になって 飛行したのです ジェームズ・ウェッブ宇宙望遠鏡には 小さな折り紙が使われています 非常にシンプルです 望遠鏡をー宇宙に打ち上げる時に 二ヶ所で展開します 三分の一に折り畳まれていれ とても単純なパターンで ― 折り紙とは言えないかもしれません 別に折り紙アーティストに相談することもない

しかしこれより高度で大きなものが欲しい場合 折り紙の技が必要になるかもしれません ローレス・リバモア国立研究所の技師たちは もっとずっと大きな望遠鏡を考えました 「アイグラス」といって 静止衛星軌道上 41,600キロ上空の 直径100mのレンズ用のデザインです フットボール場くらいのレンズを想像してください これに興味を持っている人たちには二種類いて そこから空を見上げる宇宙科学者と そこから下を見下ろしたい人々です どちらを見るにしても どうやって宇宙に打ち上げます? ロケットに積まなくてはいけないのです そしてロケットは小さい レンズを小さくしなくてはなりません 大きな一枚ガラスをどうやって小さくするか? なんとか折り曲げるしかないでしょう そこでこんなものができます ― これは小型のモデルです

レンズの場合は パネルに分解して 湾曲させます しかしこのパターンでは 100mのものを数mにすることはできません そこでリバモアの技師たちは 死人の業績か 生きているオリガミストを利用して 「他に方法がないか調べてみよう」といったわけです かれらは折り紙コミュニティをさがし 我々と接触し 協同作業がはじまりました そして協同して 任意の大きさに 拡大できて どんな平面やリングや ディスクでも作れて 非常にコンパクトな円筒状に 折り畳めるパターンを開発しました そして 第1世代に応用しました 100mでなく5mのものです しかしこれは5mですが 焦点距離が400mあります そしてテスト範囲では完璧に機能していて しかも小さな束に折り畳めるのです

宇宙での 他の折り紙があります 日本宇宙航空研究開発機構は太陽帆を飛ばしました その展開写真がこれです まだ折り目が見えますね ここでの解決すべき問題は 最終的に展開すれば非常に大きいシート上のものを そこまでの経路では小さくしておくことです この技術は宇宙でも役に立ちますし 体内でも役立ちます これが体内での例です これはオックスフォード大学のZhong You氏による 血管内ステントです 血管の目的の場所にたどり着くと そこで展開して閉塞を開きます しかし血管を通ってそこに到達するまでは 途中では縮小していなくてはなりません そしてこのステントは紙風船の折り紙のベースによって 折り畳まれています

エアバッグのデザインも 平たいシートを 小さな場所に収納するという 問題をかかえています エンジニアはコンピュータ上のシミュレーションによって どうやってエアバッグを平たくたたむかを 考え出さなくてはなりません そして我々が昆虫を作るときの アルゴリズムが エアバッグのシミュレーションでの 解決策になりました このようなシミュレーションです 折り紙の折れ線ができあがって エアバッグが膨張する そして考える:これで上手くいくか? そこから 実に面白いアイデアが生まれました

こういう形はどこからもたらされたか? さて 血管ステントは 皆さんが小学校で覚えたかもしれない 小さな紙風船から生まれました 「紙風船ベース」と同じパターンです エアバッグの折りたたみアルゴリズムは 実際は昆虫 ― 足付きの ― を作るために 開発された円の詰め込みと 数学理論から もたらされました 数学と科学の世界では これはよくあることなのです 数学がからむと あなたが 美的な価値だけのためとか 何か美しいものを作るために 解決したことが 巡りめぐって 実世界の応用になるのです 奇妙で驚くべきことに聞こえるかもしれませんが 折り紙はいつか命を救うかもしれません どうもありがとう


― もっと見る ―
― 折りたたむ ―


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