TED日本語 - アダム・スペンサー: 私が巨大素数を愛するようになった理由



TED日本語 - アダム・スペンサー: 私が巨大素数を愛するようになった理由

TED Talks

Why I fell in love with monster prime numbers
Adam Spencer




Ah yes, those university days, a heady mix of Ph.D-level pure mathematics and world debating championships, or, as I like to say, "Hello, ladies. Oh yeah." Didn't get much sexier than the Spence at university, let me tell you.

It is such a thrill for a humble breakfast radio announcer from Sydney, Australia, to be here on the TED stage literally on the other side of the world. And I wanted to let you know, a lot of the things you've heard about Australians are true. From the youngest of ages, we display a prodigious sporting talent. On the field of battle, we are brave and noble warriors. What you've heard is true. Australians, we don't mind a bit of a drink, sometimes to excess, leading to embarrassing social situations. (Laughter) This is my father's work Christmas party, December 1973. I'm almost five years old. Fair to say, I'm enjoying the day a lot more than Santa was.

But I stand before you today not as a breakfast radio host, not as a comedian, but as someone who was, is, and always will be a mathematician. And anyone who's been bitten by the numbers bug knows that it bites early and it bites deep.

I cast my mind back when I was in second grade at a beautiful little government-run school called Boronia Park in the suburbs of Sydney, and as we came up towards lunchtime, our teacher, Ms. Russell, said to the class, "Hey, year two. What do you want to do after lunch? I've got no plans." It was an exercise in democratic schooling, and I am all for democratic schooling, but we were only seven. So some of the suggestions we made as to what we might want to do after lunch were a little bit impractical, and after a while, someone made a particularly silly suggestion and Ms. Russell patted them down with that gentle aphorism, "That wouldn't work. That'd be like trying to put a square peg through a round hole."

Now I wasn't trying to be smart. I wasn't trying to be funny. I just politely raised my hand, and when Ms. Russell acknowledged me, I said, in front of my year two classmates, and I quote, "But Miss, surely if the diagonal of the square is less than the diameter of the circle, well, the square peg will pass quite easily through the round hole." (Laughter) "It'd be like putting a piece of toast through a basketball hoop, wouldn't it?"

And there was that same awkward silence from most of my classmates, until sitting next to me,one of my friends,one of the cool kids in class, Steven, leaned across and punched me really hard in the head. (Laughter) Now what Steven was saying was, "Look, Adam, you are at a critical juncture in your life here, my friend. You can keep sitting here with us. Any more of that sort of talk, you've got to go and sit over there with them."

I thought about it for a nanosecond. I took one look at the road map of life, and I ran off down the street marked "Geek" as fast as my chubby, asthmatic little legs would carry me.

I fell in love with mathematics from the earliest of ages. I explained it to all my friends. Maths is beautiful. It's natural. It's everywhere. Numbers are the musical notes with which the symphony of the universe is written. The great Descartes said something quite similar. The universe "is written in the mathematical language." And today, I want to show you one of those musical notes, a number so beautiful, so massive, I think it will blow your mind.

Today we're going to talk about prime numbers. Most of you I'm sure remember that six is not prime because it's 2 x 3. Seven is prime because it's 1 x 7, but we can't break it down into any smaller chunks, or as we call them, factors. Now a few things you might like to know about prime numbers. One is not prime. The proof of that is a great party trick that admittedly only works at certain parties.


Another thing about primes, there is no final biggest prime number. They keep going on forever. We know there are an infinite number of primes due to the brilliant mathematician Euclid. Over thousands of years ago, he proved that for us. But the third thing about prime numbers, mathematicians have always wondered, well at any given moment in time, what is the biggest prime that we know about?

Today we're going to hunt for that massive prime. Don't freak out. All you need to know, of all the mathematics you've ever learned, unlearned, crammed, forgotten, never understood in the first place, all you need to know is this: When I say 2 ^ 5, I'm talking about five little number twos next to each other all multiplied together,2 x 2 x 2 x 2 x 2. So 2 ^ 5 is 2 x 2 = 4,8,16,32. If you've got that, you're with me for the entire journey. Okay? So 2 ^ 5, those five little twos multiplied together. (2 ^ 5) - 1 = 31. 31 is a prime number, and that five in the power is also a prime number. And the vast bulk of massive primes we've ever found are of that form: two to a prime number, take away one. I won't go into great detail as to why, because most of your eyes will bleed out of your head if I do, but suffice to say, a number of that form is fairly easy to test for primacy. A random odd number is a lot harder to test. But as soon as we go hunting for massive primes, we realize it's not enough just to put in any prime number in the power. (2 ^ 11) - 1 = 2,047, and you don't need me to tell you that's 23 x 89. (Laughter) But (2 ^ 13) - 1, (2 ^ 17) - 1 (2 ^ 19) - 1, are all prime numbers. After that point, they thin out a lot.

And one of the things about the search for massive primes that I love so much is some of the great mathematical minds of all time have gone on this search. This is the great Swiss mathematician Leonhard Euler. In the 1700s, other mathematicians said he is simply the master of us all. He was so respected, they put him on European currency back when that was a compliment.


Euler discovered at the time the world's biggest prime: (2 ^ 31)- 1. It's over two billion. He proved it was prime with nothing more than a quill, ink, paper and his mind.

You think that's big. We know that (2 ^ 127) - 1 is a prime number. It's an absolute brute. Look at it here: 39 digits long, proven to be prime in 1876 by a mathematician called Lucas. Word up, L-Dog.


But one of the great things about the search for massive primes, it's not just finding the primes. Sometimes proving another number not to be prime is just as exciting. Lucas again, in 1876, showed us (2 ^ 67) - 1,21 digits long, was not prime. But he didn't know what the factors were. We knew it was like six, but we didn't know what are the 2 x 3 that multiply together to give us that massive number.

We didn't know for almost 40 years until Frank Nelson Cole came along. And at a gathering of prestigious American mathematicians, he walked to the board, took up a piece of chalk, and started writing out the powers of two: two,four,eight,16 -- come on, join in with me, you know how it goes -- 32,64,128,256,512,1,024,2,048. I'm in geek heaven. We'll stop it there for a second. Frank Nelson Cole did not stop there. He went on and on and calculated 67 powers of two. He took away one and wrote that number on the board. A frisson of excitement went around the room. It got even more exciting when he then wrote down these two large prime numbers in your standard multiplication format -- and for the rest of the hour of his talk Frank Nelson Cole busted that out. He had found the prime factors of (2 ^ 67) - 1. The room went berserk -- (Laughter) -- as Frank Nelson Cole sat down, having delivered the only talk in the history of mathematics with no words. He admitted afterwards it wasn't that hard to do. It took focus. It took dedication. It took him, by his estimate, "three years of Sundays."

But then in the field of mathematics, as in so many of the fields that we've heard from in this TED, the age of the computer goes along and things explode. These are the largest prime numbers we knew decade by decade, each one dwarfing the one before as computers took over and our power to calculate just grew and grew.

This is the largest prime number we knew in 1996, a very emotional year for me. It was the year I left university. I was torn between mathematics and media. It was a tough decision. I loved university. My arts degree was the best nine and a half years of my life.


But I came to a realization about my own ability. Put simply, in a room full of randomly selected people, I'm a maths genius. In a roomful of maths Ph.Ds, I'm as dumb as a box of hammers. My skill is not in the mathematics. It is in telling the story of the mathematics.

And during that time, since I've left university, these numbers have got bigger and bigger, each one dwarfing the last, until along came this man, Dr. Curtis Cooper, who a few years ago held the record for the largest ever prime, only to see it snatched away by a rival university. And then Curtis Cooper got it back. Not years ago, not months ago, days ago. In an amazing moment of serendipity, I had to send TED a new slide to show you what this guy had done.

I still remember -- (Applause) -- I still remember when it happened. I was doing my breakfast radio show. I looked down on Twitter. There was a tweet: "Adam, have you seen the new largest prime number?" I shivered -- (Laughter) -- contacted the women who produced my radio show out in the other room, and said "Girls, hold the front page. We're not talking politics today. We're not talking sport today. They found another megaprime." The girls just shook their heads, put them in their hands, and let me go my own way.

It's because of Curtis Cooper that we know, currently the largest prime number we know, is 2 ^ 57,885,161. Don't forget to subtract the one. This number is almost 17 and a half million digits long. If you typed it out on a computer and saved it as a text file, that's 22 meg. For the slightly less geeky of you, think about the Harry Potter novels, okay? This is the first Harry Potter novel. This is all seven Harry Potter novels, because she did tend to faff on a bit near the end. (Laughter) Written out as a book, this number would run the length of the Harry Potter novels and half again. Here's a slide of the first 1,000 digits of this prime. If, when TED had begun, at 11 o'clock on Tuesday, we'd walked out and simply hit one slide every second, it would have taken five hours to show you that number. I was keen to do it, could not convince Bono. That's the way it goes.

This number is 17 and a half thousand slides long, and we know it is prime as confidently as we know the number seven is prime. That fills me with almost sexual excitement. And who am I kidding when I say almost?


I know what you're thinking: Adam, we're happy that you're happy, but why should we care? Let me give you just three reasons why this is so beautiful.

First of all, as I explained, to ask a computer "Is that number prime?" to type it in its abbreviated form, and then only about six lines of code is the test for primacy, is a remarkably simple question to ask. It's got a remarkably clear yes/no answer, and just requires phenomenal grunt. Large prime numbers are a great way of testing the speed and accuracy of computer chips.

But secondly, as Curtis Cooper was looking for that monster prime, he wasn't the only guy searching. My laptop at home was looking through four potential candidate primes myself as part of a networked computer hunt around the world for these large numbers. The discovery of that prime is similar to the work people are doing in unraveling RNA sequences, in searching through data from SETI and other astronomical projects. We live in an age where some of the great breakthroughs are not going to happen in the labs or the halls of academia but on laptops, desktops, in the palms of people's hands who are simply helping out for the search.

But for me it's amazing because it's a metaphor for the time in which we live, when human minds and machines can conquer together. We've heard a lot about robots in this TED. We've heard a lot about what they can and can't do. It is true, you can now download onto your smartphone an app that would beat most grandmasters at chess.

You think that's cool. Here's a machine doing something cool. This is the CubeStormer II. It can take a randomly shuffled Rubik's Cube. Using the power of the smartphone, it can examine the cube and solve the cube in five seconds.


That scares some people. That excites me. How lucky are we to live in this age when mind and machine can work together?

I was asked in an interview last year in my capacity as a lower-case "c" celebrity in Australia, "What was your highlight of 2012?" People were expecting me to talk about my beloved Sydney Swans football team. In our beautiful, indigenous sport of Australian football, they won the equivalent of the Super Bowl. I was there. It was the most emotional, exciting day. It wasn't my highlight of 2012. People thought it might have been an interview I'd done on my show. It might have been a politician. It might have been a breakthrough. It might have been a book I read, the arts. No, no, no. It might have been something my two gorgeous daughters had done. No, it wasn't. The highlight of 2012, so clearly, was the discovery of the Higgs boson. Give it up for the fundamental particle that bequeaths all other fundamental particles their mass.


And what was so gorgeous about this discovery was 50 years ago Peter Higgs and his team considered one of the deepest of all questions: How is it that the things that make us up have no mass? I've clearly got mass. Where does it come from? And he postulated a suggestion that there's this infinite, incredibly small field stretching throughout the universe, and as other particles go through those particles and interact, that's where they get their mass. The rest of the scientific community said, "Great idea, Higgsy. We've got no idea if we could ever prove it. It's beyond our reach." And within just 50 years, in his lifetime, with him sitting in the audience, we had designed the greatest machine ever to prove this incredible idea that originated just in a human mind.

That's what is so exciting for me about this prime number. We thought it might be there, and we went and found it. That is the essence of being human. That is what we are all about. Or as my friend Descartes might put it, we think, therefore we are.

Thank you.


大学生の頃はよかった 博士課程レベルの純粋数学と世界ディベート選手権が 入り交じった高揚感・・・ それに「やあ お姉さん方」なんて言い回ってね 大学の頃の自分が一番セクシーでしたよ

シドニー出身のしがない朝のラジオのホストにとって 地球の反対側の TEDの舞台は興奮そのものです 聞いてくださいオーストラリア人について よくある噂は ほぼ事実です 私達は幼い頃から 驚異的なスポーツの才能を発揮し 戦場では勇敢で高潔な戦士です全部 本当ですよ オーストラリア人はちょっと飲んだり ― 飲み過ぎたりして 気まずい状況になっても気にしません (笑) 1973年 父の職場のクリスマス・パーティです 私は5才になる直前で サンタよりも ずっとはしゃいでいました

ただ今日は朝のラジオのホストでも コメディアンでもなく 数学者として来ています私は昔も今も ― そしてこれからも数学者です 数字に取り付かれた人なら わかるでしょう数字は幼い頃に深く根を下ろします

小2の時にシドニー郊外の 小さくて きれいな州立の ― ボロニアパーク小学校に通っていました もうすぐ昼ごはんという時に ラッセル先生が言いました 「みんな 昼から何をしたい? 先生は まだ決めていないの」 民主的な教育の実践校だったのです 今は民主的教育に賛成ですが当時は まだ7才ですよ 結局 午後の授業の提案は ちょっと無理なものばかりでした そのうち誰かがヘンなことを言い始めて 先生がやんわりと諌めました 「それは上手くいかないわ 四角い杭を丸い穴に通すようなものね」

その時 私は賢いふりやふざけるつもりもなく ― ただ静かに手を挙げました 先生が気付いてくれたので 友達が見ている前でこう始めたのです 「でも先生 ― 四角形の対角線の長さが 円の直径より短かったら 四角い杭だって簡単に丸い穴を通るよ」 (笑) 「トーストをバスケのゴールに通すようなものでしょ?」

気まずい沈黙がクラスに広がり 隣に座っていた友達で クラスの人気者のスティーブンが 私の頭を力いっぱい叩きました (笑) それからスティーブンは言いました 「今がお前の人生の大きな分かれ目だ 俺達の仲間のままでいるか くだらない話を続けて あっち側に行くかだ」

私は1ナノ秒考えてから 人生のロードマップをちらっと見て 「オタク」の標識がある方へ 喘息持ちのぽちゃぽちゃの足でひた走りはじめたのです

私は幼い頃に数学に目覚め 友達に説明しまくりました数学は美しく 自然で どこにでも存在する ― それぞれの数は音符で 宇宙のシンフォニーはその音符で書かれている かのデカルトも言っています 宇宙は「数学的言語で書かれている」と 今日は そんな音符の一つを紹介しましょう とても美しく壮大なスケールの数字です 皆さんも びっくりしますよ

お話しするのは「素数」についてです 6 が素数でないことはたぶん記憶にあるでしょう 6 は 2 x 3 だからです 7 は素数です1 x 7 で表せますが それ以上は小さなパーツつまり因数に 分けられないからです 素数の豆知識をいくつか紹介しましょう まず 1 は素数ではありません その証明は手品みたいなもので ある種のパーティーでしかうけません


さらに 一番大きな最後の素数は存在しません 終わりがないのです 素数が無限だとわかったのは 天才数学者ユークリッドのおかげです 何千年も前に彼が証明してくれたのです さらに3つ目は 数学者がいつでも ― どんな時でも 知りうる最大の素数が何か考えてきたことです

今日は巨大素数捜しに皆さんをお連れします 怖がらないで 必要な知識はたった一つです 皆さんが 学んだり 学ばなかったり詰め込まれたり 忘れたり ― そもそも理解不能だったりした数学のうち ― 必要な知識はこれだけです 「2 の5乗」と言ったら ― 2 という数を 5つ並べて全部かけるということです 2 x 2 x 2 x 2 x 2 です だから「2 の5乗」とは2 x 2 で4 ― さらに2倍して8 16 32 です これさえ分かれば話についてこれますよ 2 の5乗は 2 を 5回かけたものです 2 の 5乗から1 を引くと 31 です 31 は素数で指数である5も 素数です これまでに発見された巨大素数の大部分は この形式 ― 2 を素数乗したものから1 を引いた数です 詳しい理由は言いません 説明したら皆さんの目玉が飛び出すでしょう ただこの形式の数は素数かどうかを調べるのが とても簡単なのです ランダムな奇数の場合調べるのはずっと難しい 一方 巨大素数を捜してみるとすぐわかりますが 素数を指数にするだけではだめです 2 の11乗マイナス1 は 2,047 ですが 皆さん お気づきの通り23 x 89 になります (笑) でも 2 の13乗引く1 も2 の17乗引く1 も 2 の19乗引く1 も全部 素数です これ以降は素数の数はどんどん減ります

巨大素数の探究が好きな理由は 歴史上 最も偉大な数学者達が その発見に取り組んできたからです スイスの偉大な数学者レオンハルト・オイラーです 1700年代には数学者達は 彼を師と仰ぎました とても尊敬され欧州では紙幣になりました それが敬意の証だった頃の話ですが


オイラーは当時最大の素数を発見しました 2 の31乗マイナス1 ― 20億を超える数です 彼はこの数が素数であることを 羽ペンとインクと紙と精神力だけで証明しました

大きな数ですね 2 の127乗マイナス1 も 素数とわかっています これはかなり厄介です 見てください39桁もあります 1876年にリュカという数学者が 素数だと証明しました すごいぞ リュカ


でも巨大素数探しのすごさは 発見だけに留まりません 時には 素数でないことの証明にも興奮します 先程のリュカは1876年に2 の 67乗マイナス1 という 21桁の数が素数でないと証明しました ただ因数はわからなかったのです 素数ではないとわかっても 何と何をかければその巨大な数になるかは不明でした

これは約40年間 謎でした その後フランク・ネルソン・コールが登場します アメリカのある著名な学会での発表で 彼は黒板に歩み寄りチョークを手にして 次々に 2 のべき乗を書き始めました 2 4 8 16 ― さあ皆さんもご一緒に 32 64 128 256 ― 512 1,024 2,048・・・ 数学マニアの天国だねここで止めましょう コールは ここで止めませんでした どんどん続けて 2 の67乗まで計算し そこから1 を引いた数を黒板に書きました 震える様な興奮が会場を駆け抜けました 彼が2つの大きな素数で かけ算の式を書くと会場は騒然としました 発表の残り時間を全て使って コールは その式をすごい勢いで計算しました 彼は 2 の67乗マイナス1 の 素因数を発見したのです 会場が興奮に包まれる中 ― (笑) 彼は席へ戻っていきました 発表で一言も話さなかったのは 数学の歴史上この時だけです 後に彼は この問題は難しくなかったと言っています 必要だったのは集中と粘り強さ ― それから 彼の概算で 「日曜日 3年分」だったそうです

一方 数学の世界では TEDに登場する他の分野と同様 ― コンピュータ時代になって爆発的な進歩を遂げました 画面では次々に更新された ― 最大の素数を10年ごとにご覧頂いています コンピュータが主役になり私達の計算能力が 飛躍的に高まったのです

これが1996年の時点で最大の素数です 個人的に思い出深い年です 私は この年に大学を卒業して 数学とメディアのどちらをとるか迷っていました 難しい決断でした大学が大好きで 学位をとるのに たっぷり9年半もかけましたから


でも結局自分の限界を悟ったのです ランダムに選ばれた人々の中では 私は数学の天才です でも数学の博士号を持つ人々の中では 所詮 金づち並に頭の鈍い人間に過ぎません 私には数学そのものより 数学について語るほうが向いています

私が卒業した ちょうどその頃 ― 巨大な素数が次々と見つかり記録が更新されていました そんな頃にカーティス・クーパー博士が登場します 博士は数年前まで最大素数の記録を持っていましたが ライバルの大学が新記録を出しました そのカーティス・クーパーが記録を取り戻したのです 何年前でも何か月前でもなくほんの数日前のことです この素晴らしい発見の瞬間 ― 私はTEDで使う予定だったスライドを差し替えました 彼の成功を紹介するためです

(拍手) その時の様子を まだ覚えています 朝のラジオ番組の放送中に ツイートが入ったのです 「最大の素数が見つかったよ」 体が震えました (笑) 別室にいた制作スタッフの女性陣と交渉しました 「トップニュースを差し替えたい 今日は政治の話はしない スポーツもなしだ 新しい巨大素数が見つかった」 彼女達は頭を抱えましたが やりたいようにやらせてくれました

カーティス・クーパーのおかげで 現在わかっている最大の素数は 2 の57,885,161乗 ― マイナス1を忘れずに この数の長さはおよそ1,750万桁です コンピュータに打ち込むとテキスト形式でも 22MBになります 数学マニアじゃない人は ハリー・ポッターの小説を思い浮かべて 第1巻はこの位の厚さでした 全7巻でこの位です ラスト近くは水増ししてますから (笑) この素数を本に書き出せば ハリー・ポッター全巻の1.5倍の長さになります 画面にあるのはこの素数の始めの1,000桁です TEDは火曜の11時から始まりましたが 1画面1秒の割合で見せても 全部見せるには5時間もかかります 私は見せたかったんですがボノが承知しませんでした まあ 当然です

この数をスライドにすると17,500枚になります この数が素数なのは間違いありません 7が素数だと言うのと同じ位 確かです 私が感じたのはほとんど性的興奮と言ってもいい いや「ほとんど」すら不要です


当然こう思う人もいるでしょう アダム 君が喜ぶのはよくわかった でも素数は 私達と何の関係が? 素数が美しい理由を3つだけあげましょう

まずコンピュータにある数が素数か 判断させる場合短い式を入力します わずか6行程のコードで 非常に単純な質問をするのです 答えは「イエス」か「ノー」のどちらかですが とてつもない処理能力が必要です だから巨大素数はコンピュータ・チップの 速度と正確さを測るのにうってつけなのです

そして2つ目クーパーは1人で巨大素数を 捜したわけではありません 私のノートPCでも 4個の素数候補を調べていました 世界規模の分散処理ネットワークに参加していたのです 今回の巨大素数の発見は RNA配列の解明やSETIなどの天文プロジェクトの データ解析に似ています 私達の時代には 偉大な発見は 研究室でも大学でもなく ノートPCやデスクトップPCや 探究を支援する人々が持つ デバイスの中でなされます

ただ私が本当にすごいと思うのは それが私達が生きる時代 ― 人間の精神と機械が協力する時代を象徴するからです TEDではロボットの話がよく登場するので 可能性と限界もよくわかります 実際 自分のスマートフォンに チェスの達人を凌駕するアプリだって入れられます

すごいと思いませんか これもすごいマシン ― キューブ・ストーマー II です シャッフルしたルービックキューブを置くと スマートフォンの処理能力で キューブを調べて解くことができます 時間はわずか5秒です


怖がる人もいますが私はわくわくします 精神と機械が協力する時代に生きているなんて ラッキーじゃないですか

去年 地元の有名人という肩書で インタビューを受けて私の中で 2012年最大の ニュースは何か聞かれました 私が熱烈に応援している ― シドニー・スワンズだと予想する人もいました オーストラリアンフットボールにおける ― スーパーボウル級の大会で優勝したのです 私も会場にいました胸が高鳴る感動的な日でした でも最大のニュースではありません 番組でしたインタビューでも 政治家や新発明のことでも 本やアートのことでもなく 2人の可愛い娘のことでもありません 2012年ダントツのトップ・ニュースは ヒッグス粒子の発見です 他の全ての素粒子に質量を与えた ― 究極の素粒子に大きな拍手を


この発見のすごいところを説明します 50年前ピーター・ヒッグス率いる研究陣が 究極の疑問を検討しました つまり私達を構成するものに質量がないのはなぜだろう? 私に質量があるのは明らかですがその質量はどこから生じたのか? 彼はある仮説を立てました 無数の極めて小さな場が 宇宙全体に広がっていて 他の粒子がこの粒子を通り抜け 干渉する時に質量を得るという仮説です 科学界の反応は こうです 「すごいアイデアだけど そもそも証明できるのか? 理解の範囲を超えてるよ」 それからちょうど50年 ― 彼が生きている間に本人が見ている前で 私達は歴史上最も偉大なマシンを設計して 人間の精神が生み出した ― 壮大なアイデアを実際に証明したのです

この素数に興奮する理由も同じです 存在を予測していたものを 実際に発見したのです これが人間の本質です 人間として何よりも大事なことです 心の友 デカルトが言うように 我々は考えるから ― 存在するのです



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