TED日本語 - ロジャー・アントンセン: 世界を理解する奥義としての数学



TED日本語 - ロジャー・アントンセン: 世界を理解する奥義としての数学

TED Talks

Math is the hidden secret to understanding the world
Roger Antonsen




Hi. I want to talk about understanding, and the nature of understanding, and what the essence of understanding is, because understanding is something we aim for, everyone. We want to understand things. My claim is that understanding has to do with the ability to change your perspective. If you don't have that, you don't have understanding. So that is my claim.

And I want to focus on mathematics. Many of us think of mathematics as addition, subtraction, multiplication, division, fractions, percent, geometry, algebra -- all that stuff. But actually, I want to talk about the essence of mathematics as well. And my claim is that mathematics has to do with patterns.

Behind me, you see a beautiful pattern, and this pattern actually emerges just from drawing circles in a very particular way. So my day-to-day definition of mathematics that I use every day is the following: First of all, it's about finding patterns. And by "pattern," I mean a connection, a structure, some regularity, some rules that govern what we see. Second of all, I think it is about representing these patterns with a language. We make up language if we don't have it, and in mathematics, this is essential. It's also about making assumptions and playing around with these assumptions and just seeing what happens. We're going to do that very soon. And finally, it's about doing cool stuff. Mathematics enables us to do so many things.

So let's have a look at these patterns. If you want to tie a tie knot, there are patterns. Tie knots have names. And you can also do the mathematics of tie knots. This is a left-out, right-in, center-out and tie. This is a left-in, right-out, left-in, center-out and tie. This is a language we made up for the patterns of tie knots, and a half-Windsor is all that. This is a mathematics book about tying shoelaces at the university level, because there are patterns in shoelaces. You can do it in so many different ways. We can analyze it. We can make up languages for it.

And representations are all over mathematics. This is Leibniz's notation from 1675. He invented a language for patterns in nature. When we throw something up in the air, it falls down. Why? We're not sure, but we can represent this with mathematics in a pattern.

This is also a pattern. This is also an invented language. Can you guess for what? It is actually a notation system for dancing, for tap dancing. That enables him as a choreographer to do cool stuff, to do new things, because he has represented it.

I want you to think about how amazing representing something actually is. Here it says the word "mathematics." But actually, they're just dots, right? So how in the world can these dots represent the word? Well, they do. They represent the word "mathematics," and these symbols also represent that word and this we can listen to. It sounds like this.


Somehow these sounds represent the word and the concept. How does this happen? There's something amazing going on about representing stuff.

So I want to talk about that magic that happens when we actually represent something. Here you see just lines with different widths. They stand for numbers for a particular book. And I can actually recommend this book, it's a very nice book.


Just trust me.

OK, so let's just do an experiment, just to play around with some straight lines. This is a straight line. Let's make another one. So every time we move, we move one down and one across, and we draw a new straight line, right? We do this over and over and over, and we look for patterns. So this pattern emerges, and it's a rather nice pattern. It looks like a curve, right? Just from drawing simple, straight lines.

Now I can change my perspective a little bit. I can rotate it. Have a look at the curve. What does it look like? Is it a part of a circle? It's actually not a part of a circle. So I have to continue my investigation and look for the true pattern. Perhaps if I copy it and make some art? Well, no. Perhaps I should extend the lines like this, and look for the pattern there. Let's make more lines. We do this. And then let's zoom out and change our perspective again. Then we can actually see that what started out as just straight lines is actually a curve called a parabola. This is represented by a simple equation, and it's a beautiful pattern.

So this is the stuff that we do. We find patterns, and we represent them. And I think this is a nice day-to-day definition. But today I want to go a little bit deeper, and think about what the nature of this is. What makes it possible? There's one thing that's a little bit deeper, and that has to do with the ability to change your perspective. And I claim that when you change your perspective, and if you take another point of view, you learn something new about what you are watching or looking at or hearing. And I think this is a really important thing that we do all the time.

So let's just look at this simple equation, x + x = 2 * x. This is a very nice pattern, and it's true, because 5 + 5 = 2 * 5, etc. We've seen this over and over, and we represent it like this. But think about it: this is an equation. It says that something is equal to something else, and that's two different perspectives. One perspective is, it's a sum. It's something you plus together. On the other hand, it's a multiplication, and those are two different perspectives. And I would go as far as to say that every equation is like this, every mathematical equation where you use that equality sign is actually a metaphor. It's an analogy between two things. You're just viewing something and taking two different points of view, and you're expressing that in a language.

Have a look at this equation. This is one of the most beautiful equations. It simply says that, well,two things, they're both -1. This thing on the left-hand side is -1, and the other one is. And that, I think, is one of the essential parts of mathematics -- you take different points of view.

So let's just play around. Let's take a number. We know four-thirds. We know what four-thirds is. It's 1.333, but we have to have those three dots, otherwise it's not exactly four-thirds. But this is only in base 10. You know, the number system, we use 10 digits. If we change that around and only use two digits, that's called the binary system. It's written like this. So we're now talking about the number. The number is four-thirds. We can write it like this, and we can change the base, change the number of digits, and we can write it differently.

So these are all representations of the same number. We can even write it simply, like 1.3 or 1.6. It all depends on how many digits you have. Or perhaps we just simplify and write it like this. I like this one, because this says four divided by three. And this number expresses a relation between two numbers. You have four on the one hand and three on the other. And you can visualize this in many ways. What I'm doing now is viewing that number from different perspectives. I'm playing around. I'm playing around with how we view something, and I'm doing it very deliberately. We can take a grid. If it's four across and three up, this line equals five, always. It has to be like this. This is a beautiful pattern. Four and three and five. And this rectangle, which is 4 x 3, you've seen a lot of times. This is your average computer screen. 800 x 600 or 1,600 x 1,200 is a television or a computer screen.

So these are all nice representations, but I want to go a little bit further and just play more with this number. Here you see two circles. I'm going to rotate them like this. Observe the upper-left one. It goes a little bit faster, right? You can see this. It actually goes exactly four-thirds as fast. That means that when it goes around four times, the other one goes around three times. Now let's make two lines, and draw this dot where the lines meet. We get this dot dancing around.


And this dot comes from that number. Right? Now we should trace it. Let's trace it and see what happens. This is what mathematics is all about. It's about seeing what happens. And this emerges from four-thirds. I like to say that this is the image of four-thirds. It's much nicer -- (Cheers)

Thank you!

(Applause) This is not new. This has been known for a long time, but --


But this is four-thirds.

Let's do another experiment. Let's now take a sound, this sound: (Beep)

This is a perfect A, 440Hz. Let's multiply it by two. We get this sound. (Beep)

When we play them together, it sounds like this. This is an octave, right? We can do this game. We can play a sound, play the same A. We can multiply it by three-halves.


This is what we call a perfect fifth.


They sound really nice together. Let's multiply this sound by four-thirds. (Beep)

What happens? You get this sound. (Beep)

This is the perfect fourth. If the first one is an A, this is a D. They sound like this together. (Beeps)

This is the sound of four-thirds. What I'm doing now, I'm changing my perspective. I'm just viewing a number from another perspective.

I can even do this with rhythms, right? I can take a rhythm and play three beats at one time (Drumbeats)

in a period of time, and I can play another sound four times in that same space.

(Clanking sounds)

Sounds kind of boring, but listen to them together.

(Drumbeats and clanking sounds)


Hey! So.


I can even make a little hi-hat.

(Drumbeats and cymbals)

Can you hear this? So, this is the sound of four-thirds. Again, this is as a rhythm.

(Drumbeats and cowbell)

And I can keep doing this and play games with this number. Four-thirds is a really great number. I love four-thirds!


Truly -- it's an undervalued number. So if you take a sphere and look at the volume of the sphere, it's actually four-thirds of some particular cylinder. So four-thirds is in the sphere. It's the volume of the sphere.

OK, so why am I doing all this? Well, I want to talk about what it means to understand something and what we mean by understanding something. That's my aim here. And my claim is that you understand something if you have the ability to view it from different perspectives. Let's look at this letter. It's a beautiful R, right? How do you know that? Well, as a matter of fact, you've seen a bunch of R's, and you've generalized and abstracted all of these and found a pattern. So you know that this is an R.

So what I'm aiming for here is saying something about how understanding and changing your perspective are linked. And I'm a teacher and a lecturer, and I can actually use this to teach something, because when I give someone else another story, a metaphor, an analogy, if I tell a story from a different point of view, I enable understanding. I make understanding possible, because you have to generalize over everything you see and hear, and if I give you another perspective, that will become easier for you.

Let's do a simple example again. This is four and three. This is four triangles. So this is also four-thirds, in a way. Let's just join them together. Now we're going to play a game; we're going to fold it up into a three-dimensional structure. I love this. This is a square pyramid. And let's just take two of them and put them together. So this is what is called an octahedron. It's one of the five platonic solids. Now we can quite literally change our perspective, because we can rotate it around all of the axes and view it from different perspectives. And I can change the axis, and then I can view it from another point of view, but it's the same thing, but it looks a little different. I can do it even one more time.

Every time I do this, something else appears, so I'm actually learning more about the object when I change my perspective. I can use this as a tool for creating understanding. I can take two of these and put them together like this and see what happens. And it looks a little bit like the octahedron. Have a look at it if I spin it around like this. What happens? Well, if you take two of these, join them together and spin it around, there's your octahedron again, a beautiful structure. If you lay it out flat on the floor, this is the octahedron. This is the graph structure of an octahedron. And I can continue doing this. You can draw three great circles around the octahedron, and you rotate around, so actually three great circles is related to the octahedron. And if I take a bicycle pump and just pump it up, you can see that this is also a little bit like the octahedron. Do you see what I'm doing here? I am changing the perspective every time.

So let's now take a step back -- and that's actually a metaphor, stepping back -- and have a look at what we're doing. I'm playing around with metaphors. I'm playing around with perspectives and analogies. I'm telling one story in different ways. I'm telling stories. I'm making a narrative; I'm making several narratives. And I think all of these things make understanding possible. I think this actually is the essence of understanding something. I truly believe this.

So this thing about changing your perspective -- it's absolutely fundamental for humans. Let's play around with the Earth. Let's zoom into the ocean, have a look at the ocean. We can do this with anything. We can take the ocean and view it up close. We can look at the waves. We can go to the beach. We can view the ocean from another perspective. Every time we do this, we learn a little bit more about the ocean. If we go to the shore, we can kind of smell it, right? We can hear the sound of the waves. We can feel salt on our tongues. So all of these are different perspectives. And this is the best one. We can go into the water. We can see the water from the inside. And you know what? This is absolutely essential in mathematics and computer science. If you're able to view a structure from the inside, then you really learn something about it. That's somehow the essence of something.

So when we do this, and we've taken this journey into the ocean, we use our imagination. And I think this is one level deeper, and it's actually a requirement for changing your perspective. We can do a little game. You can imagine that you're sitting there. You can imagine that you're up here, and that you're sitting here. You can view yourselves from the outside. That's really a strange thing. You're changing your perspective. You're using your imagination, and you're viewing yourself from the outside. That requires imagination.

Mathematics and computer science are the most imaginative art forms ever. And this thing about changing perspectives should sound a little bit familiar to you, because we do it every day. And then it's called empathy. When I view the world from your perspective, I have empathy with you. If I really, truly understand what the world looks like from your perspective, I am empathetic. That requires imagination. And that is how we obtain understanding. And this is all over mathematics and this is all over computer science, and there's a really deep connection between empathy and these sciences.

So my conclusion is the following: understanding something really deeply has to do with the ability to change your perspective. So my advice to you is: try to change your perspective. You can study mathematics. It's a wonderful way to train your brain. Changing your perspective makes your mind more flexible. It makes you open to new things, and it makes you able to understand things. And to use yet another metaphor: have a mind like water. That's nice.

Thank you.


私がお話ししたいのは 理解について ― 理解というものの性質 理解の本質は何か ということです というのも 理解は誰もが 求めるものだからです 私たちは物事を 理解したいと思います 私の考えでは 理解というのは ものの見方を変える能力に関係しています それなくしては 理解することもありません それが私の主張です

ここでは数学に 話を絞りましょう 多くの人の考える数学とは 加算 減算 乗算 除算 分数 パーセント 幾何 代数・・・ そういったものです しかし私は数学のもっと本質的な部分にも 触れたいと思います 私に言わせると 数学とは パターンに関するものです

後ろのスクリーンに きれいなパターンが映っています このパターンは 円をある特定の仕方で 描くことで現れます 私が日常的に使っている 数学の定義が どんなものかというと それは第一に パターンを発見することに 関わるものです ここで「パターン」が意味するのは 関連 構造 規則性 我々が目にするものを 支配しているルールといったものです 第2に 数学とは そのようなパターンを 言語で表現する行為です 適当な言語がなければ 作り出します これは数学にとって 本質的なことです 数学ではまた仮定を設け それをいろいろ変えて 何が起きるか調べます あとで実際に やってご覧に入れます 最後に 数学とは イカしたことをやるものです 数学は私たちに 様々なことをできるようにしてくれます

こちらのパターンを 見てみましょう ネクタイを結ぶというとき そこにはパターンがあります ネクタイの結び方には 名前が付いています そしてネクタイの結び方は 数学で扱うことができます 左のは「左外-右内-中外-結び」(LoRiCoT)です 真ん中のは「左内-右外-左内-中外-結び」(LiRoLiCoT) これはネクタイの結び方のパターンを表すために 作られた言語なんです 右のは「ハーフウィンザー」としても知られています これは靴紐の 結び方に関する 学部レベルの 数学の本です 靴紐の通し方にも パターンがあり 非常に多くの異なる やり方があります それを分析し そのための言語を作ることができます

「表現」というのは 数学の至る所に出てきます これは1675年に書かれた ライプニッツの記法です 彼は自然界のパターンを 記述するための言語を作りました 何かを上に放り投げると 落ちてきます なぜか? よく分かりませんが そのパターンは数学で表現できるんです

これも一種のパターンです あることのために 作り出された言語です 何か分かりますか? 実はタップダンスの 系統的な表記法なんです これによって彼は振付師として 新しいイカしたことができるようになります 表現法を手にしたからです

何かを表現するというのが どれほど すごいことか 考えてほしいんです これは「数学」という語を 表しています 単なる点々でしか ありませんよね? どうしてこんな点で 語を表せるのでしょう? でも実際できて 「数学」という語を 表しているんです この記号もまた「数学」を 表していますが これは音として 聞くこともできます こんな音です


この音は 言葉や概念を表現します どうやってなのでしょう? ものを表現するとき すごいことが起きているんです

何かを表現するときに起きる この魔法について お話ししたいと思います ここには太さの違う 線があるだけですが これはある特定の本を指す 数字を表しています ちなみにその本はお薦めです とても良い本ですよ



ちょっと実験をしましょう 直線を使って すこし遊んでみます 1本の直線があります もう1本線を引きます 毎回一端を下に 他端を横にずらして 線を引いていきます これを繰り返していって パターンを探します するとこのような なかなか綺麗な パターンが現れます 曲線のように 見えるでしょう? 単に直線を 描いているだけなのに

見方を少し変えてみましょう 回転させます この曲線を見てください 何に見えますか? 円の一部でしょうか? 円の一部ではありません 真のパターンを見出すために 検討を続けましょう コピーしたら何か アートみたいになるでしょうか? そうでもありません 線を伸ばして パターンを探します 線をもっと増やしてみましょうか こんな風に ズームアウトして また見方を変えてみます はじめは ただの直線の集まりだったものが 放物線と呼ばれる曲線に なっているのが分かります これはシンプルな方程式で 表現される 美しいパターンです

これが 私たちのやっていることです パターンを見出し それを表現するということ これは数学の当座の定義として 良いと思います しかし今日は もう少し掘り下げて その性質について 考察したいと思います 何がそれを可能にしているのか? そして掘り下げたところに あるものは 見方を変える能力に 関係しています 私の主張は 見方を変えて 異なる視点で見るとき その見聞きしているものについて 何か新しいことを 学ぶということです これは私たちが絶えずやっている とても重要なことだと思います

この単純な方程式を 見てください x + x = 2 * x これは素敵なパターンであり 正しいものです 5 + 5 = 2 * 5 といった そういうパターンを繰り返し目にして このように表現したのです 考えてほしいのは これが方程式だということで 何かと何かが等しいことを 表しています 1つのものの2つの異なる 見方だということです 1つの見方は「和」です 何かを加え合わせるということ もう1つの見方は「積」です 2つの異なった見方です すべての方程式は そういうものと言えましょう イコールの記号を使う 数学の方程式はすべて メタファーであり 2つのものの間の アナロジーです 何かについて 2つの異なる見方をし それを言語で 表しているんです

この方程式を見てください これは最も美しい 方程式の1つです それは単に 2つのものが ― どちらも -1だと言っています 左側のも 右側のも 同じ -1であると これは数学の 本質的なことの1つで 異なる見方をする ということです

もっといろいろ試してみましょう 数字を1つ選びます 4/3です みんな4/3が何かは分かります それは1.333・・・ですが 点々を付ける必要があります そうしないと正確に 4/3にはなりません しかしこれは 10進法の場合の話です 10種類の数字を使う記数法では ということです もし2種類の数字しか 使わないことにしたら 2進法になって 4/3は 1.010・・・と表されます 我々は今 4/3という数について 考えているわけですが それは基数を変えることで このように書けます 数字の種数を変えることで 表記は変わるのです

これはすべて 同じ数の異なる表現です 単に 1.3 とか 1.6と 書くこともできます 数字の種類がいくつあるかで 変わるんです もっと単純化して こんな風に書くこともできます 4÷3というのが表せて 良いと思います またこの数は2つの数の 関係を表しています 一方に4があり 他方に3があります これは様々なやり方で 視覚化できます 私が今やっているのは 1つの数を様々な見方で見るということです 1つのものに対し どんな見方ができるか 試していて それをとても意識的にやっています 格子を使うこともできます 横4 縦3だと 対角線の長さは 必ず5になります そう決まっているんです 4と3と5 からできる 美しいパターンです この長方形は 横と縦の比が 4 x 3 で 良く目にするものです 一般的なコンピューターの画面のサイズです 800 x 600 とか 1600 x 1200は テレビやコンピューターの画面に 使われています

みんな素敵な表現法ですが もう少し続けて この数で遊んでみたいと思います ここに2つの円があります それぞれを回転させます 左の方が少し速く回っています 分かりますか 正確に4/3倍 速く回っています つまり左のが 4回転する間に 右のは3回転する ということです このように2本の線を引いて 交わったところに点を描くと その点が踊り出します


この点は4/3という数に由来しているのです 点の軌跡はどうなるか 軌跡を描いて 何が起きているのか見てみましょう 数学とはそういうものです 何が起きるか見るということ これが4/3という数から 生じるのです これは4/3の姿だと 言って良いでしょう この方がずっと・・・ (歓声)


(拍手) これは新しいものじゃありません ずいぶん昔から 知られていました



別の実験をしてみましょう 今度は音を使います この音です (電子音)

これはラの音で 440Hzです 周波数を2倍に してみましょう こんな音になります (電子音)

この2つを一緒に鳴らすと こうなります 1オクターブです 音を使って遊べます 同じラの音を 今度は 3/2倍してみましょう


これは完全五度と 呼ばれています


一緒にすると とても綺麗に聞こえます 今度は 4/3倍してみましょう (電子音)

どうなるか? こんな音です (電子音)

これは完全四度です 元の音がラなら 新しい音はレです 一緒にすると こうなります (電子音)

これは 4/3の音なんです ここで何をやっているかというと 見方を変えているんです 1つの数に対し 別の見方をしてみました

これをリズムで やることもできます リズムを取って 一定時間内に

3回音を鳴らします (ドラムビート) 同じ時間内に 別の音を4回 鳴らすこともできます


これじゃ退屈ですが 一緒にしてみると ―





小刻みなハイハットを 加えることもできます


聞こえますか? これはリズムとしての 4/3なんです


もっと続けて この数で遊ぶことができます 4/3は本当にすごい数なんです 大好きな数です


本当に 過小評価されていると思います 球の体積を調べると ある円柱の体積の 4/3になります 4/3が球の中にあるんです 体積として

私はなぜこんな話を しているのか? 何かを理解するというのは どういうことなのか 理解すると言ったとき 何を意味するのか それがここで私の狙いです 理解しているというのは 異なる見方ができること ― それが私の主張です この文字を見てください 素敵なRの文字です なぜそうと分かるのでしょう? これまでたくさんの Rを見てきて それを一般化し抽象化し パターンを見つけたからです それでこれはRだと 分かるのです

私がやろうとしているのは 理解することと 見方を変えることは 繋がっているんだと 示すことです 私は教師であり 講師ですが このことを教えるときに 使うことができます 別のストーリーやメタファーや アナロジーを与えること ― 別の視点から 話をすることで 理解は引き出せるからです 理解のためには 見聞きするものすべてを 一般化しなければなりませんが 別の見方を示すことで それが容易になるんです

また簡単な例で 見てみましょう 4と3 ― 4つの三角形があります ある意味 4/3です これを組み合わせます ちょっと遊びましょう これを折りたたんで 3次元の構造にします これは私のお気に入り 正四角錐です これを2つ用意して 合体させましょう これは正八面体と 呼ばれるものです 5つのプラトンの立体のうちの 1つです 文字通り 見方を変える ことができます それぞれの軸に対して 回転させて 別の見方で見るのです 軸を変えると 別の視点から 見ることができます 同じ物ですが 少し違って見えます さらに別のやり方ができます

そうするたびに 違ったものが現れます 見方を変えると その物について さらに学ぶことができるのです このことは理解を生み出すために 使うことができます 四角錐を2つ取って このように組み合わせ 何が起きるか見てみましょう 正八面体に少し似ています このように回転させると 何が起きるでしょう? 2つの四角錐を組み合わせて 回転させると 再び正八面体が現れます 美しい構造です 平らに押しつぶすと 正八面体はこうなります 正八面体のグラフ構造です こんなこともできます 正八面体のまわりに 3つの大円を描いて 回転させます 3つの大円は 正八面体と関連しているんです 自転車の空気入れで 膨らませると ― これもある意味 正八面体のようなものです 私が何をやっているか 分かりますか? ものの見方を いろいろと変えているんです

一歩下がってみましょう これはメタファーですけど ここまでどんなことを してきたのか メタファーをもてあそび 見方やアナロジーをもてあそび 1つの話をいろいろなやり方で語る ― ストーリーを語り いくつもの物語を作り出す これらのすべてが 理解を可能にするのです これは理解の本質なんです 本当にそう思います

見方を変えるというのは 人間にとって本質的なことなんです 地球で遊んでみましょう 海にズームインします 海を見て ― これは何に対してでも できます 海をよく見てみましょう 波に目を向ける 浜辺に行く 海を別な見方で 見ることができます そうする度に 海について もっと知ることが出来ます 海岸に行くと 潮の香りがします 波の音が聞こえます 塩の味がします これはみんな 異なる見方なんです そしてこれは一番のもの 水の中に入り 水を中から見るということ そしてこれは 数学やコンピューターサイエンスにとって 実に本質的なことなんです 構造を内側から 見ることができれば そのものについて 本当に学ぶことができます そのものの何か 本質的なことです

この海への旅を するにあたって 私たちは想像力を使いました これは1レベル深いものであり 見方を変えるために 必要なものです ちょっとしたゲームがあります ここに座っていながら 自分があそこにいると 想像するんです 自分を外から眺めるわけです すごく妙なことです 見方を変え 想像力を使い 自分自身を 外から眺めるのです これには想像力が必要です

数学とコンピューターサイエンスというのは 想像力を最も駆使する芸術様式なんです 見方を変えるというのは 皆さんに馴染みのある ことのはずです 私たちが日々 やっていることであり それは共感と呼ばれています 私が相手の見方で 世界を見るとき 私はその人への 共感を持っています 相手から見た世界を 本当に理解したなら 私は共感していると言えます それには想像力が必要です そうやって私たちは 理解を手にするのです 数学やコンピューターサイエンスでは 至る所で使います 共感とこれらの科学との間には 深い関わりがあるんです

そういうわけで私の結論は ― 理解というのは 見方を変える能力と とても深く結びついている ということです 皆さんにアドバイスしたいのは 見方を変えてみるということです 数学を学ぶのもいいです これは頭を鍛える 素晴らしい方法です 見方を変えることで 心が柔軟になります 新しいものに対して 心が開かれ 物事を理解しやすくなります またメタファーを使うなら 水のような心を持つことです それは良いことです



― もっと見る ―
― 折りたたむ ―


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