TED日本語 - セドリック・ヴィラニ: 数学の何がそれほど魅惑的なのか

TED日本語

TED Talks(英語 日本語字幕付き動画)

TED日本語 - セドリック・ヴィラニ: 数学の何がそれほど魅惑的なのか

TED Talks

数学の何がそれほど魅惑的なのか
What's so sexy about math?
セドリック・ヴィラニ
Cedric Villani

内容

私達の世界には、どこにでも真理が潜んでいます。人の五感では感知出来なくとも、私達の直観を超え、数学が真理の神秘を解き明かしてくれます。数学的飛躍をなした研究でフィールズ賞を受賞したセドリック・ヴィラニは、その発見の感動と不可解に思われがちな数学者の生活を詳細に語り、「美しい数学の解明は喜びであるだけでなく、私達の世界観を変える」と言います。

Script

What is it that French people do better than all the others? If you would take polls, the top three answers might be: love, wine and whining.

(Laughter)

Maybe. But let me suggest a fourth one: mathematics. Did you know that Paris has more mathematicians than any other city in the world? And more streets with mathematicians' names, too. And if you look at the statistics of the Fields Medal, often called the Nobel Prize for mathematics, and always awarded to mathematicians below the age of 40, you will find that France has more Fields medalists per inhabitant than any other country.

What is it that we find so sexy in math? After all, it seems to be dull and abstract, just numbers and computations and rules to apply. Mathematics may be abstract, but it's not dull and it's not about computing. It is about reasoning and proving our core activity. It is about imagination, the talent which we most praise. It is about finding the truth. There's nothing like the feeling which invades you when after months of hard thinking, you finally understand the right reasoning to solve your problem. The great mathematician Andre Weil likened this -- no kidding -- to sexual pleasure. But noted that this feeling can last for hours, or even days.

The reward may be big. Hidden mathematical truths permeate our whole physical world. They are inaccessible to our senses but can be seen through mathematical lenses. Close your eyes for moment and think of what is occurring right now around you. Invisible particles from the air around are bumping on you by the billions and billions at each second, all in complete chaos. And still, their statistics can be accurately predicted by mathematical physics. And open your eyes now to the statistics of the velocities of these particles.

The famous bell-shaped Gauss Curve, or the Law of Errors -- of deviations with respect to the mean behavior. This curve tells about the statistics of velocities of particles in the same way as a demographic curve would tell about the statistics of ages of individuals. It's one of the most important curves ever. It keeps on occurring again and again, from many theories and many experiments, as a great example of the universality which is so dear to us mathematicians.

Of this curve, the famous scientist Francis Galton said, "It would have been deified by the Greeks if they had known it. It is the supreme law of unreason." And there's no better way to materialize that supreme goddess than Galton's Board. Inside this board are narrow tunnels through which tiny balls will fall down randomly, going right or left, or left, etc. All in complete randomness and chaos. Let's see what happens when we look at all these random trajectories together.

(Board shaking)

This is a bit of a sport, because we need to resolve some traffic jams in there. Aha. We think that randomness is going to play me a trick on stage.

There it is. Our supreme goddess of unreason. the Gauss Curve, trapped here inside this transparent box as Dream in "The Sandman" comics. For you I have shown it, but to my students I explain why it could not be any other curve. And this is touching the mystery of that goddess, replacing a beautiful coincidence by a beautiful explanation.

All of science is like this. And beautiful mathematical explanations are not only for our pleasure. They also change our vision of the world. For instance, Einstein, Perrin, Smoluchowski, they used the mathematical analysis of random trajectories and the Gauss Curve to explain and prove that our world is made of atoms.

It was not the first time that mathematics was revolutionizing our view of the world. More than 2,000 years ago, at the time of the ancient Greeks, it already occurred. In those days, only a small fraction of the world had been explored, and the Earth might have seemed infinite. But clever Eratosthenes, using mathematics, was able to measure the Earth with an amazing accuracy of two percent.

Here's another example. In 1673, Jean Richer noticed that a pendulum swings slightly slower in Cayenne than in Paris. From this observation alone, and clever mathematics, Newton rightly deduced that the Earth is a wee bit flattened at the poles, like 0.3 percent -- so tiny that you wouldn't even notice it on the real view of the Earth.

These stories show that mathematics is able to make us go out of our intuition measure the Earth which seems infinite, see atoms which are invisible or detect an imperceptible variation of shape. And if there is just one thing that you should take home from this talk, it is this: mathematics allows us to go beyond the intuition and explore territories which do not fit within our grasp.

Here's a modern example you will all relate to: searching the Internet. The World Wide Web, more than one billion web pages -- do you want to go through them all? Computing power helps, but it would be useless without the mathematical modeling to find the information hidden in the data.

Let's work out a baby problem. Imagine that you're a detective working on a crime case, and there are many people who have their version of the facts. Who do you want to interview first? Sensible answer: prime witnesses. You see, suppose that there is person number seven, tells you a story, but when you ask where he got if from, he points to person number three as a source. And maybe person number three, in turn, points at person number one as the primary source. Now number one is a prime witness, so I definitely want to interview him -- priority. And from the graph we also see that person number four is a prime witness. And maybe I even want to interview him first, because there are more people who refer to him.

OK, that was easy, but now what about if you have a big bunch of people who will testify? And this graph, I may think of it as all people who testify in a complicated crime case, but it may just as well be web pages pointing to each other, referring to each other for contents. Which ones are the most authoritative? Not so clear.

Enter PageRank,one of the early cornerstones of Google. This algorithm uses the laws of mathematical randomness to determine automatically the most relevant web pages, in the same way as we used randomness in the Galton Board experiment. So let's send into this graph a bunch of tiny, digital marbles and let them go randomly through the graph. Each time they arrive at some site, they will go out through some link chosen at random to the next one. And again, and again, and again. And with small, growing piles, we'll keep the record of how many times each site has been visited by these digital marbles.

Here we go. Randomness, randomness. And from time to time, also let's make jumps completely randomly to increase the fun.

And look at this: from the chaos will emerge the solution. The highest piles correspond to those sites which somehow are better connected than the others, more pointed at than the others. And here we see clearly which are the web pages we want to first try. Once again, the solution emerges from the randomness. Of course, since that time, Google has come up with much more sophisticated algorithms, but already this was beautiful.

And still, just one problem in a million. With the advent of digital area, more and more problems lend themselves to mathematical analysis, making the job of mathematician a more and more useful one, to the extent that a few years ago, it was ranked number one among hundreds of jobs in a study about the best and worst jobs published by the Wall Street Journal in 2009.

Mathematician -- best job in the world. That's because of the applications: communication theory, information theory, game theory, compressed sensing, machine learning, graph analysis, harmonic analysis. And why not stochastic processes, linear programming, or fluid simulation? Each of these fields have monster industrial applications. And through them, there is big money in mathematics. And let me concede that when it comes to making money from the math, the Americans are by a long shot the world champions, with clever, emblematic billionaires and amazing, giant companies, all resting, ultimately, on good algorithm.

Now with all this beauty, usefulness and wealth, mathematics does look more sexy. But don't you think that the life a mathematical researcher is an easy one. It is filled with perplexity, frustration, a desperate fight for understanding.

Let me evoke for you one of the most striking days in my mathematician's life. Or should I say,one of the most striking nights. At that time, I was staying at the Institute for Advanced Studies in Princeton -- for many years, the home of Albert Einstein and arguably the most holy place for mathematical research in the world. And that night I was working and working on an elusive proof, which was incomplete. It was all about understanding the paradoxical stability property of plasmas, which are a crowd of electrons. In the perfect world of plasma, there are no collisions and no friction to provide the stability like we are used to. But still, if you slightly perturb a plasma equilibrium, you will find that the resulting electric field spontaneously vanishes, or damps out, as if by some mysterious friction force.

This paradoxical effect, called the Landau damping, is one of the most important in plasma physics, and it was discovered through mathematical ideas. But still, a full mathematical understanding of this phenomenon was missing. And together with my former student and main collaborator Clement Mouhot, in Paris at the time, we had been working for months and months on such a proof. Actually, I had already announced by mistake that we could solve it. But the truth is, the proof was just not working. In spite of more than 100 pages of complicated, mathematical arguments, and a bunch discoveries, and huge calculation, it was not working. And that night in Princeton, a certain gap in the chain of arguments was driving me crazy. I was putting in there all my energy and experience and tricks, and still nothing was working. 1 a.m.,2 a.m.,3 a.m., not working. Around 4 a.m., I go to bed in low spirits. Then a few hours later, waking up and go, "Ah, it's time to get the kids to school --" What is this? There was this voice in my head, I swear. "Take the second term to the other side, Fourier transform and invert in L2."

(Laughter)

Damn it, that was the start of the solution!

You see, I thought I had taken some rest, but really my brain had continued to work on it. In those moments, you don't think of your career or your colleagues, it's just a complete battle between the problem and you.

That being said, it does not harm when you do get a promotion in reward for your hard work. And after we completed our huge analysis of the Landau damping, I was lucky enough to get the most coveted Fields Medal from the hands of the President of India, in Hyderabad on 19 August,2010 -- an honor that mathematicians never dare to dream, a day that I will remember until I live.

What do you think, on such an occasion? Pride, yes? And gratitude to the many collaborators who made this possible. And because it was a collective adventure, you need to share it, not just with your collaborators. I believe that everybody can appreciate the thrill of mathematical research, and share the passionate stories of humans and ideas behind it. And I've been working with my staff at Institut Henri Poincare, together with partners and artists of mathematical communication worldwide, so that we can found our own, very special museum of mathematics there.

So in a few years, when you come to Paris, after tasting the great, crispy baguette and macaroon, please come and visit us at Institut Henri Poincare, and share the mathematical dream with us.

Thank you.

(Applause)

フランス人が 他の国民より 巧みな事は何でしょう? そんな世論調査をしたなら トップ3の答えは 愛、ワイン、ワイニング(泣き言)

(笑)

かもしれませんが それに加えて もう1つ提案すると 数学です パリ程 数学者の多い街は 世界中どこを捜してもありません これ程 数学者にちなんだ 名前の街路もありません 統計からすると 数学のノーベル賞とも言われ 40才以下の数学者に与えられる フィールズ賞の受賞者人口比は フランスが世界一です

数学の何が フランス人を そんなに魅惑するのでしょうか? 数学なんて 抽象的でつまらないとか またはルールと数字を使っての計算に 過ぎないように思えるでしょう 数学は抽象的かも知れませんが 退屈ではなく 計算が全てでもありません 数学とは論証と証明こそが 数学者の仕事の中核を成し 想像力 すなわち 我々が最も称賛する能力を使う 真理の追求です 何ヶ月も思考を重ねた上 問題が解け やっと正しい証明が 論証し上がった時の喜び と言ったらありません 偉大なる数学者アンドレ・ヴェイユが この喜びを ― 冗談抜きに ― 性的快感に例えています 違いは その感覚が何時間も 時には何日も継続するという事です

見返りが大きいのです 数学的真理は この物質世界全体に潜んでいます 我々は それを五感で 感じる事は出来なくとも 数学というレンズを通して 見る事が出来ます では 暫く目を閉じて 身の回りで起きている事を 考えてみて下さい あなたの周りの空気中にある 見えない無数の粒子が 常にあなたの体に ぶつかってきています それは まったく不規則です それでも 動きの統計的な値は 数理物理学で正確に予測できます では 目を開けて その粒子の速度の統計に 目を向けてみましょう

これは かの有名な 釣り鐘形のガウス曲線 ― 誤差の法則 ― 平均的挙動に対する 偏差を表したものです この曲線は 粒子の速度を 人口統計が年齢分布を表すように 統計で表したもので 最も重要な曲線の1つです これは幾度となく 多くの理論や実験から現れる 普遍的な一大真理として 我々数学者には とても大切なものです

ガウス曲線に関して 有名な科学者フランシス・ゴルトンが こう言いました 「ギリシャ人がこの法則を知っていたら これを神格化していただろう これは無秩序の最高法規だ」 この至高の女神を最もうまく 具現化したのがゴルトンボードです この中には 狭いトンネルがあり それを通り 小さなビー玉が 右へ 左へ また左へというように ランダムに落ちていきます 完全に無秩序な混沌とした動きです こんな無秩序な軌道が共に 何を起こすか見てみましょう

(ボードを振る)

これはちょっとした運動です この中の交通渋滞を 解消しないといけないので さあ この場で無秩序が何か面白い事を 起こすかもしれませんよ

出ました 無秩序の至高の女神 ガウス曲線が 『サンドマン』の主人公ドリームのように この透明の箱に閉じ込められています ここでは 実験で お見せするだけですが この曲線以外はあり得ない理由を 私のクラスでは説明します 至高の女神の神秘に触れ 美しい偶然の一致が 美しい論証に取って代わるのです

科学とはこのようなものです 美しい数学的な論証は 数学者の喜びであるだけでなく 我々の世界観を変えてしまいます 例えば アインシュタイン ペラン スモルコフスキー 彼らは 無秩序な軌道の集合とガウス曲線を 数学的に分析して この世に存在する全てのものは 原子で成っていると証明しました

数学者が 我々の世界観を覆したのは これが初めてではありません 2千年以上前 古代ギリシャの時代には そのような事が既に起きていました 当時 世界のほんの一部しか 探検されておらず 地球は無限に広がっている かのようだったでしょう 知恵者のエラストテネスは 数学を使い 僅か2%の誤差という驚く程の正確さで 地球の周長を測ったのです

もう1つの例は 1673年に ジャン・リシェが カイエンヌでは振り子の動きがパリより 少し遅くなることに気がつきました この観察だけから 数学を巧妙に使い ニュートンは 地球の両極が ほんの少し平坦なことを 正確に導き出しました その扁平率は0.3%と僅かで 地球全体を実際見たとしても 気がつかない程でしょう

これらの例が示しているのは 数学が我々に直観の世界を 超えさせてくれ 果てしなく見える地球の 大きさを測定させ 目には見えない原子や 我々が五感で感知できないものを 検知させてくれるということです この私のトークから 覚えておく事があるとしたなら それは1つ 我々の直観を越えた所にある 知覚では理解し難いものを 数学は探索させてくれるということです

皆さんも経験している 現代の例がこれです ネットでの検索です ワールド・ワイド・ウェブ 10億を超えるページ全部 調べ上げたいと思いますか? それだけの計算能力があればですが データに潜む情報を見出すための 数学モデルがなければ 使い物にならないでしょう

分かり易い問題で考えてみましょう こう想像して下さい あなたは ある事件を扱っている刑事で 1人1人異なった見解を 持った証人が多くいたとします 誰を最初に事情聴取しますか 合理的に見ても 主要目撃者ですよね こうです 証人7が ある話をするとします その情報の発信源を 証人7に尋ねると 証人3から聞いたと言うのです その次には 証人3は 証人1が その話の源だと 言うかも知れません さあ 証人1が主要証人となり その人からの事情聴取を 絶対に最優先したいと思いますよね でも このグラフから 証人4が主要目撃者だとも 見なされるので 彼の方を先に事情聴取した方が いいかもしれません 大勢の人の口から 彼の名が上がるからです

この場合は簡単ですが もし 非常に多くの人が証言する となったら どうします? また このグラフは 複雑な事件で証言する人々を 表しているようですが 相互にURLを参照し合う ウェブサイトを 表しているのでもあります これでは どのサイトが 最も信頼できるのか あまり はっきりしません

ここで登場するのが「ページランク」 Google初期の主要機能の1つです このアルゴリズムは 数学的無秩序の法則を使って 最も関連性の高いウェブサイトを 自動的に決定します これはゴルトンボードの実験で 見られた無秩序の法則と同じ原理です では このグラフに 小さなデジタル・ビー玉を送り込み バラバラに通してみましょう それぞれサイトに到着し 次から次にリンクを 無秩序に通り抜けます どの玉も そうです 玉が少しずつ積み上がり それぞれのサイトの閲覧数 ― デジタル・ビー玉の数が記録されます

さあ行きますよ 無秩序に バラバラと 時々 全く無秩序にジャンプを起こして もっと面白くしましょう

ご覧下さい カオスの状態から解決法が生まれます ビー玉の数が一番多いのは 他のサイトに比べて リンクが多いサイトであり より多く参照されているサイトです これで どれが 最初に見てみたいウェブサイトか はっきりと分かります ここでもまた 解決法が無秩序から生まれます もちろん それ以来 Googleはもっと洗練された アルゴリズムを導入していますが ページランクは既に実に うまく機能していました

それでも問題は起きますが その頻度は ほんの百万回に1回程です デジタルの到来で 数学的分析が応用出来る 問題が増えて来て 数学者の仕事は増々有用になり 数年前 2009年の ウォール・ストリート・ジャーナルによると 「職種ランキング100」の調査で 百の仕事の内のトップに のし上がるまでになりました

数学者は 世界で最高の仕事です 理由は その応用の幅広さです コミュニケーション理論 情報理論 ゲーム理論 圧縮センシング 機械学習 グラフ解析 調和解析に加え 確率過程 線形計画 流体シミュレーションもあり それぞれ 様々な産業界で 大いに応用されています これらを通して 数学は大きな利益をもたらします そして 認めざるを得ないことは 数学を使い富を得る事に関しては ダントツで米国が世界一です その象徴の才気ある億万長者や 素晴らしい巨大企業は全て 究極のところ 良く出来たアルゴリズムに 頼っているということです

これら全ての美しさ 有用さと豊かさで 数学は より一層魅惑的に見えるのです しかし数学者の研究生活が 楽だなんて思わないで下さい 解決までには 当惑 苛立たしさ 理解に向けての 絶望的な闘いで一杯なのです

私の数学者としての人生で 最も印象深かった ある日のことを お話ししましょう 最も印象深い夜だったと 言うべきかも知れません 当時 私はプリンストン高等研究所にいました アルベルト・アインシュタインが 何年も研究を続けた場所で 数学の研究には世界で最も聖なる地だと 言っても間違いがありません その夜 私は 捕らえ所のない証明に 取り組んでいて それは不完全なままでした これは電子の集合体である プラズマの 矛盾する安定性に関するものでした 完璧なプラズマの世界では 我々に馴染みの安定性を作り出す 衝突も摩擦もありません しかし 少しでもプラズマの平衡が崩れると 電場は 結果として ひとりでに消え去る つまり 減衰することになります まるで何か不可解な摩擦力が 働いたようにです

この矛盾する現象は 「ランダウ減衰」と呼ばれ プラズマ物理における 最も重要な事象の1つで その存在は数学で証明されました とはいっても この現象は完全には 数学的に理解されていませんでした かつての私の教え子であり 主要共同研究者のクレマン・ムーオと共に ― その時パリにいたのですが ― 何ヶ月もその証明に 取り組んでいました 実は 私は 解けたと勘違いして 公表してしまっていたのですが 実際には その証明は成り立っていなかったのです 百ページ以上の複雑な数学的論理 多くの発見や 膨大な計算にも拘らず うまく行きませんでした プリンストンでの その夜は 証明を構築する過程の論理が うまく繋がらなく気がどうかなりそうでした エネルギーと経験 そしてあらゆる手法を 駆使していたのに 何もうまく行きませんでした 夜中の1時 2時 3時になっても 同じ状態でした 4時頃になり 落ち込んだまま就寝し その数時間後 目覚め 「子供たちを学校に連れて行く時間だ」 とその時 何だ これは? 頭の中で こう言う声が 確かに聞こえたのです 「第2項目を 式の反対側に持って行き フーリエ変換して L2空間で逆変換せよ」

(笑)

これだ! それが解決への第一歩でした

このように 休息していたと思っていたのに 実は私の脳は働き続けていたのです そんな時には 野心も同僚の事も頭にはありません 取り組んでいる問題と自分だけです

そうは言ったものの 自分の辛苦が報われ 昇進するのも悪くはないですね ランダウ減衰の膨大な証明が完了してから 私は幸運な事に 最も切望されているフィールズ賞を インドの大統領の手から ハイデラバードで 2010年の8月19日に頂きました 数学者にとって夢の様な光栄です 死ぬまで この日を忘れないでしょう

どう思われますか その時の私の気持ちは? プライド? もちろん それに加え これを可能にしてくれた 協力者の方々ヘの感謝の念です これは人々と共同の冒険だったからです 共同研究者以外の人々とも 共有すべき事なのです 誰でも数学研究のワクワク感を味わえ その陰に潜む人々の情熱的な物語を 共有出来ると信じています アンリ・ポアンカレ研究所の 私のスタッフと共同研究者たちと 世界の数学的表現アーティストと共に アンリ・ポアンカレ研究所で 実に特殊な独自の数学博物館創立に 力を注いでいます

数年後に パリに来られたら 美味しいパリパリのフランスパンと マカロンを 賞味なさった後 どうぞアンリ・ポアンカレ研究所へ お越し下さい そして 数学の夢を一緒に見ましょう

ありがとうございました

(拍手)

― もっと見る ―
― 折りたたむ ―

品詞分類

  • 主語
  • 動詞
  • 助動詞
  • 準動詞
  • 関係詞等

関連動画