TED日本語 - アーサー・ベンジャミン: フィボナッチ数の魅力

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TED日本語 - アーサー・ベンジャミン: フィボナッチ数の魅力

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フィボナッチ数の魅力
The magic of Fibonacci numbers
アーサー・ベンジャミン
Arthur Benjamin

内容

数学は論理的かつ機能的そして・・・スゴいのです。数学マジシャンのアーサー・ベンジャミンが探るのは、不思議で奇妙な数の集合「フィボナッチ数列」の隠れた性質です。(それに数学は想像力を刺激することだってできるのです!)

Script

So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.

Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematicsthat we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)

Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.

Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three,two plus three is five,three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.

In fact, there are many moreapplications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)

Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one,two squared is four,three squared is nine,five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13,nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.

In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares ofthe first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.

Do you see it? I'll show it to you. Six is two times three,15 is three times five,40 is five times eight,two,three,five,eight, who do we appreciate?

(Laughter)

Fibonacci! Of course.

Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one,one,two,three,five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?

Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one,one,two,three,five and eight add up to eight times 13.

Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21,21 by 34, and so on.

Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger numberby the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.

Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the mostimportant application of all, learning how to think.

If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.

Thank you very much.

(Applause)

なぜ数学を学ぶのでしょうか? 本質的には3つの理由があります 計算するため 応用するため そして 発想するためです 発想に時間をかけないのは 残念なことですが・・・

数学とはパターンの科学です ここから論理的 批判的 創造的な 考え方を学べるのです 一方 学校で習う数学は 効果的に意欲を高めているとは言えません 数学を勉強する理由を生徒がたずねても 授業で いつか使うからとか テストに出るからと言われることも多いのです でも 時々でいいから 面白くて美しくてワクワクするから 数学を学ぶという機会がもてたら 素敵だと思いませんか でも そんな機会の作り方が わからないという声も聞きます そこで私のお気に入りの数から ちょっとした例を挙げましょう フィボナッチ数です (拍手)

ここにもフィボナッチ・ファンがいますね 素晴らしい

この数列はいろいろな角度から 楽しむことができます 計算の面では わかりやすい数列です 1足す 1は 2で 1足す 2で 3 ― 2足す 3で 53足す 5で 8と 続きます 「フィボナッチ」の本名は ピサのレオナルドです 彼の著書『算盤の書』でこの数列が紹介されました 現在使われる計算方法は この本を通して西洋世界に伝わりました 応用の点から言うと フィボナッチ数は 自然界にあふれています 花びらの数は普通 ― フィボナッチ数です ひまわりの花やパイナップルに見られる らせんの数も フィボナッチ数が多いです

この数は さらにいろいろなものに見出せます ただ最も想像力をかき立てられるのは この数列の美しい規則性です お気に入りを一つ紹介します 平方数は 皆さん お好きですよね(笑)

フィボナッチ数の最初のいくつかを それぞれ 2乗してみましょう 1の 2乗は 1 ― 2の 2乗は 43の 2乗は 9 ― 5の 2乗は 25と続きます さて 連続するフィボナッチ数を 加えると次の数を得ることが できますよね そういう作り方ですから でも 2乗した数 同士を 加えても何も起こらないと思うでしょう でも ご覧ください 1 + 1 = 2 ― 1 + 4 = 5 ― 4 + 9 = 13 ― 9 + 25 = 34 になり このパターンが続くのです

実は もう一つあります フィボナッチ数を2乗したものを 最初から足していってみましょう どうなるでしょうか 1 + 1 + 4 = 6 です これに 9を加えると 15になります 25を加えると 40に 64を加えると 104になります 出てきた数を調べましょう フィボナッチ数にはなっていませんが よく見ると フィボナッチ数が 隠れていますよ

わかりますか?ご覧に入れましょう 6 = 2 x 315 = 3 x 5 ― 40 = 5 x 8 です 2 3 5 8 ・・・わかりますか?

(笑)

フィボナッチ数ですよね

さて こんな規則性を見つけるのは面白いですが なぜそうなるかを理解すれば さらに楽しくなります 一番下の方程式を見てください なぜ 1 1 2 3 5 8 の平方数を足すと 8 x 13 になるのでしょうか 簡単な図で示します 1 x 1 の正方形から始めて 隣に 1 x 1 の正方形を置きます 合わせると 1 x 2 の長方形ができます その下に 2 x 2 の正方形 ― 隣に 3 x 3 の正方形を置き また下に 5 x 5 の正方形 ― 隣に 8 x 8 の正方形を置くと 大きな長方形が出来ます

さて 簡単な質問をしましょう 長方形の面積は? 一つのやり方は 面積は正方形の面積の 合計ですね そう作ったのですから 1の2乗プラス 1の2乗プラス 2の2乗プラス 3の2乗プラス ― 5の2乗プラス 8の2乗ですよね これが面積です 一方 これは長方形ですから 面積は たて x よこ です たては 8ですね よこは 5 + 8 なので 次のフィナボッチ数である13です だから面積は 8 x 13 です 面積を2種類の方法で 計算できました 結果はお互いに同じなので 1 1 2 3 5 8 の平方数を足すと 8 x 13 になると言えるのです

さて このプロセスを続けると 13 x 21や 21 x 34といった長方形を 作り続けることができます

では今度は 13を 8で割ってみると 1.625になります 大きい方の数を小さい方の数で割ると その結果は次第に およそ 1.618に近づいていきます この数こそ「黄金比」と呼ばれる比率です 多くの数学者 科学者 芸術家達を 何世紀もの間魅了してきた数です

今回 この題材を取り上げた理由は 数学の大半がそうであるように 美しい部分があるからです ただ学校で このような美は あまり注目されません 計算の仕方は長い期間をかけて学びますが 実際に応用することを忘れてはいけません とりわけ重要なのは考え方を学ぶ時に 数学を応用することです

一言でまとめるとすれば こうなるでしょう 「数学とは xの解を求めるだけでなく 理由 “why” を解明する学問である」

どうもありがとうございました

(拍手)

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品詞分類

  • 主語
  • 動詞
  • 助動詞
  • 準動詞
  • 関係詞等

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