TED日本語 - マーカス・デュ・ソートイ: 対称性の秘密

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TED日本語 - マーカス・デュ・ソートイ: 対称性の秘密

TED Talks

対称性の秘密
Symmetry, reality's riddle
マーカス・デュ・ソートイ
Marcus du Sautoy

内容

素粒子のスピンから美しいアラベスクまで、世界に溢れる対称性。しかし目に見えるものが全てではありません。 オックスフォードの数学者マーカス・デュ・ソートイが、全ての対称性に共通する見えない数学を語ります。

Script

On the 30th of May,1832, a gunshot was heard ringing out across the 13th arrondissement in Paris. (Gunshot) A peasant, who was walking to market that morning, ran towards where the gunshot had come from, and found a young man writhing in agony on the floor, clearly shot by a dueling wound. The young man's name was Evariste Galois. He was a well-known revolutionary in Paris at the time. Galois was taken to the local hospital where he died the next day in the arms of his brother. And the last words he said to his brother were, "Don't cry for me, Alfred. I need all the courage I can muster to die at the age of 20."

It wasn't, in fact, revolutionary politics for which Galois was famous. But a few years earlier, while still at school, he'd actually cracked one of the big mathematical problems at the time. And he wrote to the academicians in Paris, trying to explain his theory. But the academicians couldn't understand anything that he wrote. (Laughter) This is how he wrote most of his mathematics.

So, the night before that duel, he realized this possibly is his last chance to try and explain his great breakthrough. So he stayed up the whole night, writing away, trying to explain his ideas. And as the dawn came up and he went to meet his destiny, he left this pile of papers on the table for the next generation. Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.

But contained inside those documents was a new language, a language to understand one of the most fundamental concepts of science -- namely symmetry. Now, symmetry is almost nature's language. It helps us to understand so many different bits of the scientific world. For example, molecular structure. What crystals are possible, we can understand through the mathematics of symmetry.

In microbiology you really don't want to get a symmetrical object, because they are generally rather nasty. The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object. And it uses the efficiency of symmetry to be able to propagate itself so well. But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important, because it actually communicates genetic information.

I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical. And if I ask you which of these you find more beautiful, you're probably drawn to the lower two. Because it is hard to make symmetry. And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign that you've got good genes, you've got a good upbringing and therefore you'll make a good mate. So symmetry is a language which can help to communicate genetic information.

Symmetry can also help us to explain what's happening in the Large Hadron Collider in CERN. Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN. To be able to make predictions about the fundamental particles we might see there, it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape in a higher dimensional space.

And I think Galileo summed up, very nicely, the power of mathematics to understand the scientific world around us. He wrote, "The universe can not be read until we have learnt the language and become familiar with the characters in which it is written. It is written in mathematical language, and the letters are triangles, circles and other geometric figures, without which means it is humanly impossible to comprehend a single word."

But it's not just scientists who are interested in symmetry. Artists too love to play around with symmetry. They also have a slightly more ambiguous relationship with it. Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain." He has a character describing the snowflake, and he says he "shuddered at its perfect precision, found it deathly, the very marrow of death."

But what artists like to do is to set up expectations of symmetry and then break them. And a beautiful example of this I found, actually, when I visited a colleague of mine in Japan, Professor Kurokawa. And he took me up to the temples in Nikko. And just after this photo was taken we walked up the stairs. And the gateway you see behind has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them. Seven of them are exactly the same, and the eighth one is turned upside down.

And I said to Professor Kurokawa, "Wow, the architects must have really been kicking themselves when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down." And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act." And he referred me to this lovely quote from the Japanese "Essays in Idleness" from the 14th century, in which the essayist wrote, "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Even when building the Imperial Palace, they always leave one place unfinished.

But if I had to choose one building in the world to be cast out on a desert island, to live the rest of my life, being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada. This is a palace celebrating symmetry. Recently I took my family -- we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love. This is my son Tamer. You can see he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra. But I wanted to try and enrich him. I think one of the problems about school mathematics is it doesn't look at how mathematics is embedded in the world we live in. So, I wanted to open his eyes up to how much symmetry is running through the Alhambra.

You see it already. Immediately you go in, the reflective symmetry in the water. But it's on the walls where all the exciting things are happening. The Moorish artists were denied the possibility to draw things with souls. So they explored a more geometric art. And so what is symmetry? The Alhambra somehow asks all of these questions. What is symmetry? When [ there ] are two of these walls, do they have the same symmetries? Can we say whether they discovered all of the symmetries in the Alhambra?

And it was Galois who produced a language to be able to answer some of these questions. For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann, which was something still and deathly -- for Galois, symmetry was all about motion. What can you do to a symmetrical object, move it in some way, so it looks the same as before you moved it? I like to describe it as the magic trick moves. What can you do to something? You close your eyes. I do something, put it back down again. It looks like it did before it started.

So, for example, the walls in the Alhambra -- I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place, rotate them by 90 degrees, put them all back down again and they fit perfectly down there. And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved. But it's the motion that really characterizes the symmetry inside the Alhambra. But it's also about producing a language to describe this. And the power of mathematics is often to change one thing into another, to change geometry into language.

So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically -- so brace yourselves -- push you a little bit to understand how this language works, which enables us to capture what is symmetry. So, let's take these two symmetrical objects here. Let's take the twisted six-pointed starfish. What can I do to the starfish which makes it look the same? Well, there I rotated it by a sixth of a turn, and still it looks like it did before I started. I could rotate it by a third of a turn, or a half a turn, or put it back down on its image, or two thirds of a turn. And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn. And those are things that I can do to the symmetrical object that make it look like it did before I started.

Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry. Can anybody think what else I could do to this which would leave it like I did before I started? I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I? It's got no reflective symmetry. But what I could do is just leave it where it is, pick it up, and put it down again. And for Galois this was like the zeroth symmetry. Actually, the invention of the number zero was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians. It seems mad to talk about nothing. And this is the same idea. This is a symmetrical -- so everything has symmetry, where you just leave it where it is.

So, this object has six symmetries. And what about the triangle? Well, I can rotate by a third of a turn clockwise or a third of a turn anticlockwise. But now this has some reflectional symmetry. I can reflect it in the line through X, or the line through Y, or the line through Z. Five symmetries and then of course the zeroth symmetry where I just pick it up and leave it where it is. So both of these objects have six symmetries. Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport, and you have to do some mathematics in order to really understand it.

So here is a little question for you. And I'm going to give a prize at the end of my talk for the person who gets closest to the answer. The Rubik's Cube. How many symmetries does a Rubik's Cube have? How many things can I do to this object and put it down so it still looks like a cube? Okay? So I want you to think about that problem as we go on, and count how many symmetries there are. And there will be a prize for the person who gets closest at the end.

But let's go back down to symmetries that I got for these two objects. What Galois realized: it isn't just the individual symmetries, but how they interact with each other which really characterizes the symmetry of an object. If I do one magic trick move followed by another, the combination is a third magic trick move. And here we see Galois starting to develop a language to see the substance of the things unseen, the sort of abstract idea of the symmetry underlying this physical object. For example, what if I turn the starfish by a sixth of a turn, and then a third of a turn?

So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F, are the names for the rotations. B, for example, rotates the little yellow dot to the B on the starfish. And so on. So what if I do B, which is a sixth of a turn, followed by C, which is a third of a turn? Well let's do that. A sixth of a turn, followed by a third of a turn, the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go. So the little table here records how the algebra of these symmetries work. I do one followed by another, the answer is it's rotation D, half a turn. What I if I did it in the other order? Would it make any difference? Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn. Of course, it doesn't make any difference. It still ends up at half a turn.

And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other. But this is completely different to the symmetries of the triangle. Let's see what happens if we do two symmetries with the triangle,one after the other. Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise, and reflect in the line through X. Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z to start with. Now, let's do it in a different order. Let's do the reflection in X first, followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise. The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different. It's as if it was reflected in the line through Y.

Now it matters what order you do the operations in. And this enables us to distinguish why the symmetries of these objects -- they both have six symmetries. So why shouldn't we say they have the same symmetries? But the way the symmetries interact enable us -- we've now got a language to distinguish why these symmetries are fundamentally different. And you can try this when you go down to the pub, later on. Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn, then flip it. And then do it in the other order, and the picture will be facing in the opposite direction.

Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact. It's almost like little Sudoku tables. You don't see any symmetry twice in any row or column. And, using those rules, he was able to say that there are in fact only two objects with six symmetries. And they'll be the same as the symmetries of the triangle, or the symmetries of the six-pointed starfish. I think this is an amazing development. It's almost like the concept of number being developed for symmetry. In the front here, I've got one,two,three people sitting on one,two,three chairs. The people and the chairs are very different, but the number, the abstract idea of the number, is the same.

And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra. Here are two very different walls, very different geometric pictures. But, using the language of Galois, we can understand that the underlying abstract symmetries of these things are actually the same. For example, let's take this beautiful wall with the triangles with a little twist on them. You can rotate them by a sixth of a turn if you ignore the colors. We're not matching up the colors. But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn around the point where all the triangles meet. What about the center of a triangle? I can rotate by a third of a turn around the center of the triangle, and everything matches up. And then there is an interesting place halfway along an edge, where I can rotate by 180 degrees. And all the tiles match up again. So rotate along halfway along the edge, and they all match up.

Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra. And we find the same symmetries here, and the same interaction. So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet. And the half a turn is halfway between the six pointed stars. And although these walls look very different, Galois has produced a language to say that in fact the symmetries underlying these are exactly the same. And it's a symmetry we call 6-3-2.

Here is another example in the Alhambra. This is a wall, a ceiling, and a floor. They all look very different. But this language allows us to say that they are representations of the same symmetrical abstract object, which we call 4-4-2. Nothing to do with football, but because of the fact that there are two places where you can rotate by a quarter of a turn, and one by half a turn.

Now, this power of the language is even more, because Galois can say, "Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries on the walls in the Alhambra?" And it turns out they almost did. You can prove, using Galois' language, there are actually only 17 different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra. And they, if you try to produce a different wall with this 18th one, it will have to have the same symmetries as one of these 17.

But these are things that we can see. And the power of Galois' mathematical language is it also allows us to create symmetrical objects in the unseen world, beyond the two-dimensional, three-dimensional, all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space. And that's where I work. I create mathematical objects, symmetrical objects, using Galois' language, in very high dimensional spaces. So I think it's a great example of things unseen, which the power of mathematical language allows you to create.

So, like Galois, I stayed up all last night creating a new mathematical symmetrical object for you, and I've got a picture of it here. Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board at the side here, great, excellent. Here we are. Unfortunately, I can't show you a picture of this symmetrical object. But here is the language which describes how the symmetries interact.

Now, this new symmetrical object does not have a name yet. Now, people like getting their names on things, on craters on the moon or new species of animals. So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object which hasn't been named before. And this thing -- species die away, and moons kind of get hit by meteors and explode -- but this mathematical object will live forever. It will make you immortal. In order to win this symmetrical object, what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning. How many symmetries does a Rubik's Cube have?

Okay, I'm going to sort you out. Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are in that number. Okay? If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials. Okay, now if you want to play, I want you to stand up, okay? If you think you've got an estimate for how many digits, right -- we've already got one competitor here. If you all stay down he wins it automatically. Okay. Excellent. So we've got four here,five,six. Great. Excellent. That should get us going. All right.

Anybody with five or less digits, you've got to sit down, because you've underestimated. Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down. 60 digits or more, you've got to sit down. You've overestimated. 20 digits or less, sit down. How many digits are there in your number? Two? So you should have sat down earlier. (Laughter) Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay? If I told you 20 or less, stand up. Because this one. I think there were a few here. The people who just last sat down.

Okay, how many digits do you have in your number? (Laughs) 21. Okay good. How many do you have in yours? 18. So it goes to this lady here. 21 is the closest. It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube has 25 digits. So now I need to name this object. So, what is your name? I need your surname. Symmetrical objects generally -- spell it for me. G-H-E-Z No, SO2 has already been used, actually, in the mathematical language. So you can't have that one. So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object. You are now immortal. (Applause)

And if you'd like your own symmetrical object, I have a project raising money for a charity in Guatemala, where I will stay up all night and devise an object for you, for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala. And I think what drives me, as a mathematician, are those things which are not seen, the things that we haven't discovered. It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject. And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness": "In everything, uniformity is undesirable. Leaving something incomplete makes it interesting, and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you. (Applause)

1832年5月30日 一発の銃声が パリ13区に響きました (銃声) 朝市に来ていた農民が 銃声のした方へ行くと 青年がもがき苦しんでいました 決闘で撃たれたのです 撃たれた青年の名はエヴァリスト・ガロア 当時は良く知られたパリの革命家でした ガロアは地元の病院で 弟アルフレッドに看取られ亡くなりました 弟へ残した最後の言葉はこうです 「アルフレッド 泣かないでくれ 20歳で死ぬには 相当の勇気がいるのだから」

現代 ガロアが有名なのは 革命活動ではありません その数年前 まだ学生のときに 彼は当時の数学の最大の謎のひとつを 解明したのです この理論を説明した論文を パリ科学アカデミーに提出しましたが アカデミーのメンバーは 書かれた内容が理解できませんでした (笑) これが彼が数学を記述する流儀でした

決闘の前夜に これが最後のチャンスだと思い 彼の偉大な業績を書き残そうとしました 一晩中起きて書き続け 彼のアイディアを 残そうとしました そして夜が明けて 彼は運命の時を迎えたのです 机の上には 紙の山が残されていました もしかしたら 徹夜して数学をしていたのが 決闘で負けてしまった理由かも知れません

彼が書き残した書類には 科学の根底にある概念を理解するための 新しい言語が記されていました その概念とは 対称性です 対称性は 自然界の言語とも言えます 非常に多岐にわたる科学的なことを 理解する助けとなります たとえば分子構造では どんな結晶構造がありえるのか 対称性の数学を通して理解できます

微生物学では 対称的な物体は 大抵やっかいなものです 豚インフルエンザのウイルスは 対称性が効率的であることを利用して 高い感染力をもっています より大きなスケールの生物学では 遺伝子情報の伝達が 対称性によって実現されています

二枚の写真と それを左右対称に加工したものがあります どちらが美しいと感じるでしょうか おそらく 下の二枚でしょう 対称を作るのは困難なので あなたの体が左右対称ならば よい遺伝子を持ち 健康に育った 良い結婚相手だという証になります つまり対称性は 遺伝情報の伝達に役立つ 言語なのです

CERNの大型ハドロン衝突型加速器の中で 何が起きているのかを説明するにも役に立ちます あるいは 何が起きていないのかを... 見つかるかもしれない素粒子を 予測する助けにもなります 素粒子は全て高次元空間にある対称形の 色々な「断面」である可能性があります

身の回りの科学的な世界を理解するのに 数学がどれほど強力なのか ガリレオがうまく表現しています 「宇宙という壮大な書物は それを記述している言葉を学び その文字に親しまなければ解読できない それは数学という言葉で書かれていて その文字は三角、円、その他の幾何学的図形であり それらを知らなければ 一言も理解できない」

しかし 対称性に興味を持つのは科学者だけではありません 芸術家も対称性を愛しています 彼らは すこし違った視点を持っています 小説「魔の山」の中でトーマス・マンは 雪の結晶について登場人物にこう語らせています 「ぞっとするほどの完璧さで 死の核心に思えた」

しかし 芸術家は対称性を暗示して それをわざと壊したがるものです 日本を訪れたときに 研究仲間の黒川教授のところへ行ったとき とても良い例に出会いました 彼は日光東照宮へ連れて行ってくれました これは階段を登ったすぐの場所で撮った写真で 背後に門が見えます 門には美しい対称形の柱が8本あります そのうち7本はまったく同じですが 一本だけが上下逆になっています

「これをつくった建築家は こいつを間違えて逆さまにしたって気付いた時に しまった! と思っただろうねぇ」と私が言うと 教授は「いやいや、これはわざとなんだよ」と答えました そして 日本の古典「徒然草」からの 素敵な一節を教えてくれたのです 「何でも全部が 完全に整っているのはよくない やり残したことを そのままにしておくのが面白く 先に楽しみを残すことにもなる」 皇居を建てるときにすら 常に一箇所 未完成の場所を残します

でも私がもし建物をひとつ選んで その中で一生を暮らすならば 「対称性中毒」の私なら アルハンブラ宮殿を選びます この宮殿は対称性の極致です 私はよく家族と 数学オタク的な旅行をするのですが これは私の息子 タマーです 「数学的」な旅行をとても楽しんでいるようですね しかし もっと息子に見せたいものがありました 学校の数学の授業では 現実の世界にどう数学が関わっているのか 教えてくれません ですから アルハンブラ宮殿の対称性を 私は息子に見せたかったのです

宮殿に入ってすぐにわかるのは 水に映し出された対称性です でも 特にすばらしいのはここの壁です ムーア人の芸術家たちは 偶像を描くことを 禁止されていました ですから彼らは幾何的な芸術を追求しました では 対称性とは何でしょう? アルハンブラに行くと次々と質問が頭に浮かびます 対称性とは何か?2つの模様の対称性が 同じだと言えるのはどんな時か? ムーア人は 可能な対称性の型を全て アハンブラ宮殿に残したのでしょうか

ガロアは まさにこの疑問に答えるための 言語を作り出したのです トーマス・マンにとって対称とは 死であり 静止したものでしたが ガロアにとって対称性は動きでした 対称的な図形を動かして 元の状態と同じに見えるようにするには 何ができるでしょう 手品の動きに例えて説明しましょう みなさんが目を閉じている間に こっそりと動かして もとの場所に戻すと 最初の状態と同じに見えるのはどんな動かし方でしょう?

たとえばアルハンブラの壁のタイルなら 黄色の点の位置を軸にして 90°回転すると 完全にもとの模様と一致します 閉じていた目を開けても動かされたと気付きません しかし この動きこそがアルハンブラ宮殿の対称性を 特徴付けるのです 同時に対称性を記述する言語にも繋がります 数学は あるものを別のものに変換することで 力を発揮しますここでは「幾何学」を「言語」に変換します

ここから 数学的に少し踏み込んだお話をしましょう 心の準備はいいですか? 少し踏み込んで この言語がどうやって 対称とは何かを捉えるか説明しましょう ふたつの対称的な図形があるとしましょう 少しねじれた ヒトデ型の図形です どう動かすと 元と同じに見えるでしょうか そう 1/6回転させれば 元と同じように見えます 1/3回転でもいいですし 半回転でも もしくは2/3回転でもいいですし 5番目の対称性として 5/6回転でも良いでしょう 対称図形を動かして元と同じに見えるようにするために このような操作をすることができます

実はガロアにとって 6番目の対称性がありました 図形が元と同じに見えるようになる 操作方法は他にあるでしょうか? 突起が少しひねれているので 裏返しにはできません 反射(鏡映)対称性はないのです でも 動かさないでおくことはできます 持ち上げて そのまま戻す ガロアにとっては これがゼロ番目の対称性でした 実際 ゼロという概念の発明はつい最近で 紀元前7世紀のインド人によるものです 「何もない」ということを数えるのも変ですが このゼロ番目の対称性も同じアイデアなのです どんなものにも「そのまま動かさない」という対称性があります

この図形の場合は6種類の対称性があります 三角形の場合はどうでしょう 時計周りに1/3回転させるか 反時計周りに1/3回転させられます 今度は反射(鏡映)対称なので Xを通る線を軸に反転させるか Yを通る線か Zを通る線でも 5種類の対称性と それに加えて 「そのまま」の ゼロ番目の対称性があります 2つの図形は両方とも6つの対称性があります 数学はスポーツ観戦とは違って 理解するためには 実際に計算をするべきです

そこで簡単な質問をしましょう そして この講演の最後に 正解に一番近かった人には 賞をあげます ルービックキューブです ルービックキューブには 対称性はいくつあるでしょう? この様に動かして キューブの形を保つ操作はいくつあるでしょう いいですか? これからしばらくの間 いくつ対称性があるか 考えてみてください そして 正解に最も近かった人に賞を差し上げます

それではまた 先程の2つの図形の話に戻りましょう 物体の対称性を特徴付けるのは 物体の持つ ひとつひとつの対称型ではなく それらの関連性だと ガロアは気付きました もし複数の種類の操作を続けて行えば この組み合わせは別の操作に相当します これこそが ガロアが作り出した この物体の対称性にひそむ 抽象的なアイデアを理解するための 言語だったのです 例えば ヒトデ型を まず1/6回転させ 次に1/3回転したら どうなるでしょう?

説明のために 回転操作に名前を付ましょう A, B, C, D, E, Fです 例えば B は 黄色の点が 図形のbの点に合うよう回転させます B つまり1/6回転の次に C つまり1/3回転したら どうなりますか? やってみましょう まず 1/6回転 続けて1/3回転 これらを足し合わせると 半回転になります この表に記録されるのは これらの対称性の計算の結果です 1つ目の操作をして続けて2番目の操作をすると 結果はDの回転 つまり1/2回転です ではもし この順番を変えたら違いはあるでしょうか まず1/3回転させて 次に1/6回転させます 当然 同じ結果になります つまり1/2回転します

この操作の組み合わせにも対称性が見られます 三角形の場合は まったく違います 二種類の対称的操作を続けて行うと 三角形がどうなるか見てみましょう 反時計回りに1/3回転してから Xを通る線で鏡像反転させます 組み合わせた結果はZを通る軸で鏡像反転させた場合と 同じです 今度は違う順番にしてみましょう X軸での反転を先に行って それから反時計回りに1/3回転させます 結果は まったく違ったものになります これはYを通る線で反転させたのと同じです

この場合は 順番が問題になるのです この2つの図形は両方とも 6つの対称性を持っていましたが 同じ対称性を持っていると 言えるのでしょうか? 対称性の相互関係を知ることで 実は根本的に違う対称性だということが 言えるようになったのです ビールのコースターを使って簡単に自分でも試せます コースターを90°回転させて反転させます それから今度は逆の順序で同じことをすると 絵柄が最初と上下逆になります

ガロアはこの表のような対称性の相互関係について法則を生み出しました それはまるで数独の枡目のように 同じ対称操作は縦・横の各列に ひとつしか現れません そして この法則を使うことで 実は6つ対称性を持つ図形は 2種類だけだと結論付けたのです 例の三角形と同等の対称性を持つものか あのヒトデと同等の対称性を持つものです 実に素晴しい成果です 対称性を「数」の様に考える概念の発明だと言えます この会場の前の列に 1、2、3人の人が 1、2、3つの椅子に座っています 椅子と人間とは全く違いますが その数 つまり数という抽象的な概念では同一です

アルハンブラの壁のタイル模様でも同じ事がわかります ここにあるのは二つの壁の まったく違う模様です しかしガロアの言語を使うと これらの根底にある抽象的な対称性は 同じだと分かります たとえば この少しねじれた三角形の 模様をご覧ください 色を無視することにすると 1/6回転させることができます 1/6回転させると 色は揃いませんが この中央の点を軸に すべての三角形が重なります 三角形の中心を軸にしたらどうでしょう 1/3回転させれば 元の図形に重なります それから 辺の中間にも興味深い場所があります 180°回転させると タイルが重なります つまり辺の中点で回転させても元の図形に重なるのです

今度は まったく違う模様の壁を見てみましょう 同じ対称性と 同じ相関関係を見付けられます 1/6回転でも 1/3でもZ字型の部分が重なります 六芒星の中央で半回転させることもできます これらの壁の模様はまったく違って見えますが ガロアの発明した言語を使えば 根底にある対称性は 完全に同一だと言えるのです この例は6-3-2の対称性と呼ばれています

これは アルハンブラ宮殿のまた別の図形です 壁、天井、そして床の模様です まったく違うように見えますが ガロアの言語によれば 対象性では同等な抽象的モチーフの異なる表現型なのです この型は 1/4回転できる位置が二カ所 そして半回転できる位置が一カ所あるので 4-4-2 と呼ばれています

このガロアの言語は 更に強力です 「ムーア人の芸術家は あり得る全ての対称性を見付けだしたのか?」 という質問をしたり その質問に 「ほぼ全て見付けた」と答えられるのです ガロアの言語を使うことで アルハンブラ宮殿の壁では 全部で17の異なる対称性が存在可能であり もしも18番目の模様を考え出したとしても それは必ず 先程の17の模様のどれかと

同じ対称性になってしまう と分かるのです さらにこのガロアの言語を使うと 見たこともない世界の 対称的な図形を作り出すこともできます 二次元、三次元を越えて 四次元、五次元、そして無限の次元空間までも それが私の研究対象です 高次元空間に 数学的な物体 対称的な物体を ガロアの言語を使って 作り出しているのです 見えないものを作り出せる それが数学の力のすばらしい例だと思います

そこで私も ガロアのように昨晩徹夜して 皆さんのために新しい数学的な対称的物体を作ってみました これがその図です そう 図とは言えませんね そのボードを持ってきてくれる? 残念ながら この対称的物体の図を お見せすることは不可能です しかし ここにある言語でどんな対称的性質があるか 記述してあります

さて この新しい対称的物体には まだ名前がついていません 月のクレータや 動物の新種に 自分の名前をつけるのが好きな 人々がいますよね ですから みなさんの名前を新しい対称的物体につける チャンスをさし上げましょう 生物の種は絶滅しますし クレータは別の隕石の衝突で消滅しますが この数学的な物体は永遠のものです あなたを永遠不滅にする力を持っています この対称的物体を勝ち取るために みなさんには 私が冒頭でお聞きした質問に答えていただきたい ルービックキューブには対称性がいくつあるでしょうか?

ためしてみましょう みなさんにそれぞれ答えてもらう代わりに 思った数が何桁か数えてください もし答えを数の階乗で考えているなら展開しておいてください では このゲームに参加したい方は 桁の数の見当がついたら 立ち上がっていただけますか? 一人目の参加者がこちらにいます 他に誰もいなければ 彼が勝者になりますよ よし 4人目...5、6人参加です すばらしい そろそろ始められますね

5桁よりも小さな数を考えた方は座ってください 見積もりが少なすぎです 5桁以下_つまり 10000以下の方は座ってください 60桁よりも大きい方も座ってください 大きすぎです 20桁より下のみなさんもハズレです あなたの考えた数字は何桁? 2桁? では もっと前に座らないと (笑) 他のみなさんも確認しましょう20桁と言った時に座ったみなさん立ってください いま座った方は立ってください こっちにも何人かいましたよね? いま座ったみなさんですよ

ではあなたが考えた数字は何桁ですか? (笑) 21ですね いいでしょうあなたは? 18_そうすると こちらのご婦人の答え 21桁が一番近い数字です 実際の答え ルービックキューブの対称性の数は 25桁です それでは この物体に命名しましょう あなたのお名前は? 苗字を教えてもらえますか?通常このような命名では... 綴りは? G-H-E-Z 残念 SO2は既に別の数学的言語で使われてるので その名前を使うことはできません さあGhezさん あなたの新しい対称的物体をどうぞ これで あなたは永遠不滅になりました (拍手)

もしみなさんも対称的物体を欲しければ グァテマラへの教育援助プロジェクトをやっていますので グァテマラの子供たちへの募金をしていただければ 私が徹夜して新しい対称的物体を作ってさし上げましょう 数学者としての私を駆り立てるのは このような見たこともない まだ発見されてないものです 答えが見つかっていない疑問が数学を生き生きとした学問にするのです そしていつも「徒然草」の一節を思い出します 「何でも全部が完全に整っているのはよくない やり残したことを そのままにしておくのが面白く 先に楽しみを残すことにもなる」以上 ありがとうございました (拍手)

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品詞分類

  • 主語
  • 動詞
  • 助動詞
  • 準動詞
  • 関係詞等

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