TED日本語 - ブノワ・マンデルブロ: フラクタルと荒さの科学

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TED日本語 - ブノワ・マンデルブロ: フラクタルと荒さの科学

TED Talks

フラクタルと荒さの科学
Fractals and the art of roughness
ブノワ・マンデルブロ
Benoit Mandelbrot

内容

TED2010において、伝説的な数学者ブノワ・マンデルブロが1984年のTEDで初めて話題にあげたテーマである、荒さの複雑さと人知を超えた複雑さの中に秩序を見つける、フラクタルの数学について語ります。

Script

Thank you very much. Please excuse me for sitting; I'm very old. (Laughter) Well, the topic I'm going to discuss is one which is, in a certain sense, very peculiar because it's very old. Roughness is part of human life forever and forever, and ancient authors have written about it. It was very much uncontrollable, and in a certain sense, it seemed to be the extreme of complexity, just a mess, a mess and a mess. There are many different kinds of mess. Now, in fact, by a complete fluke, I got involved many years ago in a study of this form of complexity, and to my utter amazement, I found traces -- very strong traces, I must say -- of order in that roughness. And so today, I would like to present to you a few examples of what this represents. I prefer the word roughness to the word irregularity because irregularity -- to someone who had Latin in my long-past youth -- means the contrary of regularity. But it is not so. Regularity is the contrary of roughness because the basic aspect of the world is very rough.

So let me show you a few objects. Some of them are artificial. Others of them are very real, in a certain sense. Now this is the real. It's a cauliflower. Now why do I show a cauliflower, a very ordinary and ancient vegetable? Because old and ancient as it may be, it's very complicated and it's very simple, both at the same time. If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it, and when you eat it, the weight matters -- but suppose you try to measure its surface. Well, it's very interesting. If you cut, with a sharp knife,one of the florets of a cauliflower and look at it separately, you think of a whole cauliflower, but smaller. And then you cut again, again, again, again, again, again, again, again, again, and you still get small cauliflowers. So the experience of humanity has always been that there are some shapes which have this peculiar property, that each part is like the whole, but smaller. Now, what did humanity do with that? Very, very little. (Laughter)

So what I did actually is to study this problem, and I found something quite surprising. That one can measure roughness by a number, a number,2.3,1.2 and sometimes much more. One day, a friend of mine, to bug me, brought a picture and said, "What is the roughness of this curve?" I said, "Well, just short of 1.5." It was 1.48. Now, it didn't take me any time. I've been looking at these things for so long. So these numbers are the numbers which denote the roughness of these surfaces. I hasten to say that these surfaces are completely artificial. They were done on a computer, and the only input is a number, and that number is roughness. So on the left, I took the roughness copied from many landscapes. To the right, I took a higher roughness. So the eye, after a while, can distinguish these two very well.

Humanity had to learn about measuring roughness. This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth. Very few things are very smooth. So then if you try to ask questions: "What's the surface of a cauliflower?" Well, you measure and measure and measure. Each time you're closer, it gets bigger, down to very, very small distances. What's the length of the coastline of these lakes? The closer you measure, the longer it is. The concept of length of coastline, which seems to be so natural because it's given in many cases, is, in fact, complete fallacy; there's no such thing. You must do it differently.

What good is that, to know these things? Well, surprisingly enough, it's good in many ways. To begin with, artificial landscapes, which I invented sort of, are used in cinema all the time. We see mountains in the distance. They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on. Now it's very easy to do. It used to be very time-consuming, but now it's nothing. Now look at that. That's a real lung. Now a lung is something very strange. If you take this thing, you know very well it weighs very little. The volume of a lung is very small, but what about the area of the lung? Anatomists were arguing very much about that. Some say that a normal male's lung has an area of the inside of a basketball [ court ] . And the others say, no,five basketball [ courts ] . Enormous disagreements. Why so? Because, in fact, the area of the lung is something very ill-defined. The bronchi branch, branch, branch and they stop branching, not because of any matter of principle, but because of physical considerations: the mucus, which is in the lung. So what happens is that in a way you have a much bigger lung, but it branches and branches down to distances about the same for a whale, for a man and for a little rodent.

Now, what good is it to have that? Well, surprisingly enough, amazingly enough, the anatomists had a very poor idea of the structure of the lung until very recently. And I think that my mathematics, surprisingly enough, has been of great help to the surgeons studying lung illnesses and also kidney illnesses, all these branching systems, for which there was no geometry. So I found myself, in other words, constructing a geometry, a geometry of things which had no geometry. And a surprising aspect of it is that very often, the rules of this geometry are extremely short. You have formulas that long. And you crank it several times. Sometimes repeatedly: again, again, again, the same repetition. And at the end, you get things like that.

This cloud is completely,100 percent artificial. Well,99.9. And the only part which is natural is a number, the roughness of the cloud, which is taken from nature. Something so complicated like a cloud, so unstable, so varying, should have a simple rule behind it. Now this simple rule is not an explanation of clouds. The seer of clouds had to take account of it. I don't know how much advanced these pictures are. They're old. I was very much involved in it, but then turned my attention to other phenomena.

Now, here is another thing which is rather interesting. One of the shattering events in the history of mathematics, which is not appreciated by many people, occurred about 130 years ago,145 years ago. Mathematicians began to create shapes that didn't exist. Mathematicians got into self-praise to an extent which was absolutely amazing, that man can invent things that nature did not know. In particular, it could invent things like a curve which fills the plane. A curve's a curve, a plane's a plane, and the two won't mix. Well, they do mix. A man named Peano did define such curves, and it became an object of extraordinary interest. It was very important, but mostly interesting because a kind of break, a separation between the mathematics coming from reality, on the one hand, and new mathematics coming from pure man's mind. Well, I was very sorry to point out that the pure man's mind has, in fact, seen at long last what had been seen for a long time. And so here I introduce something, the set of rivers of a plane-filling curve. And well, it's a story unto itself. So it was in 1875 to 1925, an extraordinary period in which mathematics prepared itself to break out from the world. And the objects which were used as examples, when I was a child and a student, as examples of the break between mathematics and visible reality -- those objects, I turned them completely around. I used them for describing some of the aspects of the complexity of nature.

Well, a man named Hausdorff in 1919 introduced a number which was just a mathematical joke, and I found that this number was a good measurement of roughness. When I first told it to my friends in mathematics they said, "Don't be silly. It's just something [ silly ] ." Well actually, I was not silly. The great painter Hokusai knew it very well. The things on the ground are algae. He did not know the mathematics; it didn't yet exist. And he was Japanese who had no contact with the West. But painting for a long time had a fractal side. I could speak of that for a long time. The Eiffel Tower has a fractal aspect. I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower, and indeed it was astonishing how much he understood.

This is a mess, mess, mess, Brownian loop. One day I decided -- halfway through my career, I was held by so many things in my work -- I decided to test myself. Could I just look at something which everybody had been looking at for a long time and find something dramatically new? Well, so I looked at these things called Brownian motion -- just goes around. I played with it for a while, and I made it return to the origin. Then I was telling my assistant, "I don't see anything. Can you paint it?" So he painted it, which means he put inside everything. He said: "Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop! I see; it's an island." And amazing. So Brownian motion, which happens to have a roughness number of two, goes around. I measured it,1.33. Again, again, again. Long measurements, big Brownian motions,1.33. Mathematical problem: how to prove it? It took my friends 20 years. Three of them were having incomplete proofs. They got together, and together they had the proof. So they got the big [ Fields ] medal in mathematics,one of the three medals that people have received for proving things which I've seen without being able to prove them.

Now everybody asks me at one point or another, "How did it all start? What got you in that strange business?" What got you to be, at the same time, a mechanical engineer, a geographer and a mathematician and so on, a physicist? Well actually I started, oddly enough, studying stock market prices. And so here I had this theory, and I wrote books about it -- financial prices increments. To the left you see data over a long period. To the right, on top, you see a theory which is very, very fashionable. It was very easy, and you can write many books very fast about it. (Laughter) There are thousands of books on that. Now compare that with real price increments. Where are real price increments? Well, these other lines include some real price increments and some forgery which I did. So the idea there was that one must be able to -- how do you say? -- model price variation. And it went really well 50 years ago. For 50 years, people were sort of pooh-poohing me because they could do it much, much easier. But I tell you, at this point, people listened to me. (Laughter) These two curves are averages: Standard & Poor, the blue one; and the red one is Standard & Poor's from which the five biggest discontinuities are taken out. Now discontinuities are a nuisance, so in many studies of prices, one puts them aside. "Well, acts of God. And you have the little nonsense which is left. Acts of God." In this picture,five acts of God are as important as everything else. In other words, it is not acts of God that we should put aside. That is the meat, the problem. If you master these, you master price, and if you don't master these, you can master the little noise as well as you can, but it's not important. Well, here are the curves for it.

Now, I get to the final thing, which is the set of which my name is attached. In a way, it's the story of my life. My adolescence was spent during the German occupation of France. Since I thought that I might vanish within a day or a week, I had very big dreams. And after the war, I saw an uncle again. My uncle was a very prominent mathematician, and he told me, "Look, there's a problem which I could not solve 25 years ago, and which nobody can solve. This is a construction of a man named [ Gaston ] Julia and [ Pierre ] Fatou. If you could find something new, anything, you will get your career made." Very simple. So I looked, and like the thousands of people that had tried before, I found nothing.

But then the computer came, and I decided to apply the computer, not to new problems in mathematics -- like this wiggle wiggle, that's a new problem -- but to old problems. And I went from what's called real numbers, which are points on a line, to imaginary, complex numbers, which are points on a plane, which is what one should do there, and this shape came out. This shape is of an extraordinary complication. The equation is hidden there, z goes into z squared, plus c. It's so simple, so dry. It's so uninteresting. Now you turn the crank once, twice: twice, marvels come out. I mean this comes out. I don't want to explain these things. This comes out. This comes out. Shapes which are of such complication, such harmony and such beauty. This comes out repeatedly, again, again, again. And that was one of my major discoveries, to find that these islands were the same as the whole big thing, more or less. And then you get these extraordinary baroque decorations all over the place. All that from this little formula, which has whatever,five symbols in it. And then this one. The color was added for two reasons. First of all, because these shapes are so complicated that one couldn't make any sense of the numbers. And if you plot them, you must choose some system. And so my principle has been to always present the shapes with different colorings because some colorings emphasize that, and others it is that or that. It's so complicated.

(Laughter)

In 1990, I was in Cambridge, U.K. to receive a prize from the university, and three days later, a pilot was flying over the landscape and found this thing. So where did this come from? Obviously, from extraterrestrials. (Laughter) Well, so the newspaper in Cambridge published an article about that "discovery" and received the next day 5,000 letters from people saying, "But that's simply a Mandelbrot set very big."

Well, let me finish. This shape here just came out of an exercise in pure mathematics. Bottomless wonders spring from simple rules, which are repeated without end.

Thank you very much.

(Applause)

どうもありがとう 座らせてください 高齢なのでね (笑) これから話す話題は ある意味でちょっと珍しいことです とても古いのでね 荒さは 人間の活動の一部です これからもずっと 古代の学者がそのことについて書いています 荒さはまったく制御できないものだと ある意味では 荒さは非常に複雑なように見えます 単にぐちゃぐちゃで きたなくて散らかっているように いろいろな種類の乱雑な状態があります 実は 完全な偶然によって 何年も前に私は この複雑さの世界に飛び込みました とても驚いたことに 私は手がかりを見つけたのです とても確かな手がかり 荒さの秩序と言うほかにありません 今日は お見せしたいと思います このことが何を示しているか いくつかの例を 私は荒さという言葉が好きです 不規則さという言葉よりも なぜなら不規則さは 若かったころの私のように ラテン語を勉強したことのある人にとって 規則正しいことの反対の意味を持っています でもそうではありません 規則正しさは荒さの反対語です なぜなら世界の基本となっていることは とても荒いからです

では いくつか絵をお見せしましょう これらのうち いくつかは人工的に作られています 他のものはある意味で とても現実的です これは本物です 野菜のカリフラワー では なぜ一般的で古くからある野菜 このカリフラワーを見せたのか その理由は 古いかもしれませんが この野菜はとても複雑で とても単純だからです 両方とも カリフラワーの重さを計るとき もちろんとても簡単に計れます また食べるときには 重さは重要ですね では このようなことを考えてみてください その表面を測ろうとしましょう とてもおもしろいですよ よく研いだナイフで カリフラワーのつぼみを 切り落としてみると それは 小さいカリフラワーに見えますね さらに切っていきます また切って 切って 切って どんどん切りましょう でもそこには また小さいカリフラワーがあります 人間の経験では こういう珍しい特徴を持つ形は いつも存在しています それぞれの部分は 全体の形と似ていますが もっと小さいもの では 人間はこの特徴に関して何をしたでしょうか 本当に少しのことだけです (笑)

私が実際にやったことは この問題を研究すること そして大変驚くべきいくつかの発見をしました 私たちは 荒さを測ることができます 数によって 2.3 1.2 時々もっと大きい数字になります あるとき 私の友人のひとりが 私を困らせるために ある絵を持ってきて このように言いました 『この曲線の荒さはいくつだい』 『そうだね 1.5よりちょっと小さいくらいかな』と答えました それは1.48でした いくらも時間はかかりません このようなことを研究してきましたのでね これらの数字は このような表面の荒さを示す数値です これらの表面は 完全に 人工的だということを言わねばなりません これらはコンピューターによってつくられました 入力したものは 数字だけです そしてこの数字こそが荒さなのです 左の写真には たくさんの風景写真から得た荒さを使いました 右の写真には もっと高い荒さを使いました しばらくすると 目は この2つをとてもよく見分けることが できるようになります

人は荒さを測ることを学ばなければならなかったのです これはとても荒い これはなめらか これは完全になめらか というように わずかなものだけが 本当になめらかです それでは 質問をしてみましょう カリフラワーの表面積は何ですか 何度も何度も何度も 計測するでしょう より精密に行うと 答えは毎回より大きくなります とっても小さい間隔で測ったらね では この湖の海岸線の長さは いくつですか より精密に計測すると それは長くなってしまいます 海岸線の長さの定義は それがとても自然なように見えるのは たくさんの事例があるからであって 実は 完全に間違った考えなのです そのようなものは無いのです 違う方法で計測しなければならないのです

このようなことを知って どうしますか とても驚くことに たくさんのことができるのです まず初めに 人工的な風景は いくらか私が生み出したものですが 映画の中でずっと使われています 遠くに山が見えますね 山かもしれませんが たくさんの方程式かもしれません 簡単にできます 以前は時間を食ったものですが いまはどうってことありません それではこれを見てみましょう 本物の肺です 肺はとても奇妙な器官です 肺はとても軽いと 私たちがよく分かっています 肺の体積はとても小さいのです では 肺の表面積はどうでしょうか 解剖学者はこのことをいつも議論しています 通常の男性の肺は バスケットボールのコートと 同程度の面積を持っている と言う人はいますが 『いや バスケットボールコート5つ分』だと言う人もいます たいへんな違いですね どうしてそうなるのでしょう なぜなら 肺の表面積は はっきりと定義されていないからなのです 枝状に分かれた気管支が さらに分かれ また分かれています 分岐が終わるということは 何かの法則によるのではなく 物理的な理由 つまり 肺の中にある粘液がそれを決めるのです 何が起こっているかというと 人間は十分に大きい肺を持っているということです もしも肺が細かく枝分かれしていたら クジラの肺も人間の肺も 加えて小さいネズミも 同じ長さをを持つことになります

そのような肺を持つことで 何が優れているのでしょう 驚くことに 非常に驚いたことに 解剖学者はほんの最近まで 肺の構造について つたない考えしか 持っていなかったのです 私の数学的な方法は 驚いたことに とても大きな役割を果たしました 外科医は 肺の疾患や 腎臓疾患を研究していますが このような枝分かれの形状をしているために 構造的に理解できないからです 言い換えると 幾何学を作り出した つまり 幾何構造を持たない対象のための 幾何学を発明したのです その驚くべき一面は この幾何学の法則は とても短いことです あなたがたは長い式があるとき 何度も展開してみるでしょう ときには何度も何度も繰り返して 同じ繰り返しをね 最終的にこのようなものを得るでしょう

この雲は完全に 100%人工的に作られました 99.9%かな この中でたった一つ自然なことは 雲の荒さを表す数字です 自然界からもらった数字です 雲のような複雑なものは 安定していなくて 変わりやすいですが その裏側には単純な規則を持っているのです この単純な規則は 雲を説明するためではありません 天気予報士は その規則に注意しなければなりません これらの絵がどれだけ進歩したのかわかりませんが 古いものなのです 私はこのことにとても深く携わっていましたが 他の現象にも注目するようになりました

さて これは さらに面白いことです 数学を破壊したある事件は 数学の歴史の中で 多くの人には歓迎されませんでしたが およそ130年前か 145年前に起こりました 数学者たちが 自然に存在し得ない形を 創造し始めたのです 数学者は自画自賛しはじめました ある程度はすごいことだったのです 人間が生み出すことができるということが 自然さえ知らないことをね とくに このようなものをつくり出しました 平面を埋め尽くす曲線です 曲線は曲線 平面は平面 この2つは決して混じり合いません 彼らはそれを組み合わせたのです ジュゼッペ・ペアノという人物が このような曲線を定義しました そして非常に興味深い図形となったのです それはとても重要で 面白いのは 数学の境界だったからです それは 現実から生み出したきた今までの数学と 純粋に人間の思考が生み出した 新しい数学との このことを指摘することが残念なのですが 純粋な人間の思考は 実は 結局のところ 長い間 見たことのあるものに基づいているのです そしてこれは私が導入したもので 平面充填曲線(ペアノ曲線)の流れの集合です これも それ自体に同じ説明が成り立ちます 1875年から1925年は とても驚くべき時代でした 世界中から突然に 数学が数学自体を作り始めたのです そして 例えば 私がまだ 子どもで学生だったとき 数学と 現実世界との間には このような研究対象が ありました 私はこれらの周りを徹底的に研究したのです 私はこれを説明するために まったくもって複雑な自然の原理を用いました

1919年にフェリックス・ハウスドルフという人物が 単なる数学的な冗談としてある数字を 導入しました そして私はこの数字が 荒さを良く表すものだと発見したのです 数学者の友人らにそのことを話したとき 『ばかなことを言うな。ただの数字だろう』と言われました 実際 私はばかげてなどいませんでした 画家の北斎はそのことをとても良く知っていました 地面にあるのは藻です 彼は数学は知らなかったでしょう 存在さえしていませんでした それに彼は日本人で 西洋とのつながりは持っていませんでした しかし 浮世絵は長いことフラクタルと 同じ性質を持っていました 私はそのことをいくらでも話すことができます エッフェル塔もフラクタルの性質を持っています エッフェル塔についての ギュスターブ・エッフェルの本を読んだことがありますが 彼がとても良く理解していたことに 本当に驚きました

これはとてもぐちゃぐちゃな ブラウン運動がつくる軌跡です あるとき 私の学者としての半ばで たくさんの仕事を持ちすぎていたので 私自身を試してみることにしました 私はただ見ることができるだろうか だれもが長いあいだ見ているものを そして飛躍的に 新しいことを見つけることができるだろうかと そして私はこれらを見ていたのです ブラウン運動と呼ばれる軌跡 単にさまよっているようです しばらくの間 それにいたずらをしてみて 元に戻したのです そして助手に言いました 『私は何も見えない 君 描けるかい』 彼はそれを描きました つまり すべて塗りつぶしたのです 彼はこう言いました 『ええと こういう結果になりました』 そのとき私はこう言いました『ちょっと待った 私には島が見える』 驚きました ブラウン運動は 荒さ2の数値を持って動き回っていたのです 私が測ると1.33でした さらに何度も測りました 長い計測の結果 大きなブラウン運動は 1.33でした 数学の問題が発生します どうやって証明するか 私の友人らが20年かけて 成し遂げました そのうち3人は不完全な証明でしたが それを寄せ集めて 証明を得たのです 彼らは数学の権威ある賞(フィールズ賞)を勝ち取り その中の1人は ある証明をして賞を受け取りました 私が証明できなかったことを

いまではみんなが私にこう尋ねます 『どうやってそれを始めたんですか どうしてそんなおかしな問題に取り組んだのですか』 何が私をそうさせたのかというと 同時に 機械のエンジニアであり 地理学者であり 数学者であり それから物理学者でもあるかな 実は 不思議なことに 株式相場を研究し始めたからなのです そしてここに 学説を立てました また それについて本を書きました 金融価格の増加について 左上には長期間のデータがあります 右手の一番上には とっても流行りの理論が見えるでしょう とても簡単なので とても早くたくさんの本を書けますよ (笑) これに関する本はたくさんあります では 実価格上昇と比べてみましょう どれが実価格上昇でしょうか これら他のグラフ線は いくつかの実価格上昇のデータと 私がねつ造したデータを含んでいます そこにある考えを そのグラフは どう言うでしょう 価格変動をモデル化できるということです それは50年前にうまくできました 50年間 人々は私をばかにしていました なぜなら 彼らはより簡単にやってのけたからです しかし話をしている現時点では みなさんは私の話を聞いています (笑) この2つの線は平均を表しています 青線はスタンダード&プアーズ 赤線はスタンダード&プアーズから 寄与しない5つの不連続データを 取り除いたものです 不連続はやっかいものです 多くの価格研究では それは取り除かれます 『神の仕業だ それを取り除いたとき 少ししか意味をなさないものになる 神の仕業』 このグラフでは 5つの神の仕業がほかのすべてと同じくらい重要なのです 言い換えると 取り除いた行為は 神の仕業ではないのです それこそが要点であり 問題なのです これらに精通すれば 価格を支配できるでしょう もし精通できないのならば 不要な情報だけを自由に操ることができます しかしそれは重要でないのです これはそのためのグラフです

では最後の問題に取りかかりましょう 私の名前が付けられた集合です ある意味では 私の人生そのものです 私の青年期は フランスに占領されたドイツで過ごしました 1日か1週間のうちに 私が消えて いなくなってしまうのではないかと考えていたので とても大きな夢を持っていました 戦争の後 叔父に再び会いました 叔父はとても著名な数学者で 私にこう言いました 『ほら ここに問題がある 私が25年前に解けなかった問題だ そして誰も解けない これはガストン・ジュリアと ピエール・ファトウの作図問題だ もし君が 何か新しいことを発見できれば 君自身の仕事をつくることができるだろう』 とても単純な問題でした その問題を見ましたが 何人もの人が今までに挑戦してきたように 何も見つけられませんでした

しばらくしてコンピュータが登場しました 私はコンピュータに応用することにしました 数学にとっては新しい問題ではありませんが これを揺り動かすと新しい問題になります 古い問題に適用したのです そして 実線上の点の実数から 虚数へと拡張しました それは平面上の点であり そこにあるべきものです そしてこの形が現れました これはとても異常に複雑な形をしています 方程式はここに隠されています zから2乗足すcへの写像 とても単純で飾り気のないものです それほどおもしろくもありません クランクを1回 2回 2回まわしてみましょう 不思議な形が現れます これが現れたのです これらの図形のことはあまり説明したくありません この図形が現れ これも現れました このように複雑で 調和がとれていて美しい図形です これは 何度も繰り返して現れます 私の主要な発見のひとつは これらの島は ひとかたまりの大きい図形と ほぼ同じことを見つけたことです そしてこれらの とても風変わりな装飾が あらゆるところにあります これらのすべては この短い式から得られます その式は5つの記号しかありません これを見てください 色付けは2つの理由で加えられました 一つ目は これらの形が とても複雑なので 数字の意味を理解できないからです 図面を作ろうとするとき 形式を選ばなければなりません 私の方針は 図形を表すことにしています 常に異なる色で 色づけは形を強調させ 印象付けられるからです とても複雑ですね

(笑)

1990年 私はイギリス・ケンブリッジにいました 大学からの賞を受け取るために それから3年後 パイロットがある地域の上空を飛んでいて これを見つけました これはどこから来たのでしょう 明らかに 地球外の生物からですね (笑) ケンブリッジの新聞が その『発見』についての記事を書き 翌日 5千を超える手紙を受け取りました 『あれは単に とても大きいマンデルブロ集合だ』

それでは終わりにしましょう この図形は 純粋数学の訓練から得ました 無限の不思議は 単純な規則から生まれ 終わりなく繰り返す

どうもありがとう

(拍手)

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品詞分類

  • 主語
  • 動詞
  • 助動詞
  • 準動詞
  • 関係詞等

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